Антон Бочкарев родился в 1987 году в Воркуте. Окончил Государственную классическую академию имени Маймонида (класс доцента Сергея Волжанского).
В 2009 году принял участие в постановке оперы «Сорочинская ярмарка» Мусоргского в музыкальном театре «Русская опера» (художественный руководитель – Александр Ведерников). В 2012 году участвовал в постановке оперы «Скупой» Пашкевича в рамках Международного фестиваля искусств «Классика OPEN FEST» в Тольятти.
С 2010 года – артист хора Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова, с 2013 года – солист оперной труппы театра.
Дипломант Всероссийского фестиваля детского и молодежного творчества «Сияние Севера» (Сыктывкар), лауреат фестиваля «Отлично, Тула!» (II премия), обладатель специальной премии конкурса Международного фонда «Филантроп», дипломант международного студенческого конкурса вокалистов Bella voce (2012).