Антон Облезов окончил Московскую среднюю специальную музыкальную школу (колледж) имени Гнесиных, Российскую академию музыки имени Гнесиных (класс Ивана Мозговенко) и аспирантуру РАМ.
Лауреат всероссийских и международных конкурсов, в том числе I Московского открытого конкурса кларнетистов имени Сергея Розанова (I премия). Выступает как солист, в составе ансамблей и оркестров, гастролирует в России и за рубежом – во Франции, Австрии, Германии, Италии, Испании, Японии и других странах.
Работал в известных отечественных коллективах: Академическом симфоническом оркестре Московской филармонии, Госоркестре России имени Е. Ф. Светланова, Симфоническом оркестре Министерства обороны РФ. Сотрудничал с дирижерами Александром Ведерниковым, Михаилом Плетнёвым, Юрием Симоновым, Владимиром Спиваковым, Владимиром Юровским, Валерием Халиловым и другими.