Антон Парамонов родился в 1976 году в Новосибирске. В 2000 году окончил Ярославский государственный театральный институт (ЯГТИ).
С 2006 года снимается в кино. Сотрудничал с режиссерами Николаем Досталем («Завещание Ленина», 2006), Ольгой Басовой («Безмолвный свидетель», 2006), Андреем Разумовским («След», 2013), Вадимом Дубровицким («Черта», 2015), Давидом Ткебучавой («Душегубы», 2019) и другими.
С 2008 года работает в Московском государственном историко-этнографическом театре. Параллельно в разные годы играл в Московском театре юного зрителя, театре «Около дома Станиславского» и Государственном театре киноактера.
Принимал участие в мюзиклах «Труффальдино из Бергамо», «Праздник непослушания» и «Волшебный сон Золушки».
С 2017 года Антон Парамонов сотрудничает с Московской филармонией. Артистом подготовлены две чтецкие программы для средних классов: «Судьба барабанщика» Аркадия Гайдара – под руководством заслуженного артиста России, мастера художественного слова и режиссера Юрия Голышева – и «Урок биографии» (Корней Чуковский о Борисе Житкове; «Урок географии» Бориса Житкова) – с заслуженным артистом России, мастером художественного слова и режиссером Юрием Дубовым.