Антон Пермяков родился в 1992 году в селе Левашово Ярославской области. Окончил Костромской областной музыкальный колледж (2012, класс Сергея Румянцева) и Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (2017, класс профессора Рустема Габдуллина). Лауреат Всероссийского конкурса артистов симфонического оркестра (2020, III премия; 2021, II премия).
Работал в оркестре Московского академического музыкального театра имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко (2012–2015), Московском государственном академическом симфоническом оркестре под управлением Павла Когана (2015–2016) и Симфоническом оркестре Москвы «Русская филармония» (2017–2019). С августа 2019 года – артист Российского национального молодежного симфонического оркестра (с 2020 года – второй концертмейстер группы контрабасов).