Артём Чирков родился в Санкт-Петербурге. С 5 лет начал учиться игре на виолончели и через год поступил в Среднюю Специальную музыкальную школу-лицей при Санкт-Петербургской государственной консерватории имени Н. А. Римского-Корсакова. С 1995 года учился в классе контрабаса О. И. Кириллова. В 1997 году без экзаменов поступил в Санкт-Петербургскую консерваторию в класс А. Шило, затем продолжил обучение в классе Р. Гималетдинова. Принимал участие в основании санкт-петербургского квартета контрабасов Quattro Bass.
Во время обучения в консерватории стал лауреатом первых премий различных престижных конкурсов в США (конкурс Международного общества контрабасистов), Германии (Международный конкурс контрабасистов имени И. М. Шпергера), Чехии (Международный конкурс в Брно).
С 2001 года учился в Высшей школе музыки имени И. Штрауса в Мюнхене в классе профессора К. Трумпфа. В 2010 году стал победителем Первого международного конкурса контрабасистов Bradetich Foundation.
Артём Чирков активно концертирует как солист, проводит мастер-классы во многих странах: Японии, Китае, на Тайване, в России, Германии, Сербии, США, ЮАР, Мозамбике, Португалии, Бразилии. Во время учебы в Германии сотрудничал с известными музыкантами, среди которых Наталья Гутман, Элисо Вирсаладзе, Зубин Мета, Марис Янсонс, Пласидо Доминго. В 2003 году был приглашен в состав Благотворительного фонда имени И. Менухина.
В 2011 году на сцене Карнеги-холла в Нью-Йорке состоялась презентация дебютного диска Артёма Чиркова «Воспоминания о XXI веке». Также на фирме Naxosмузыкант записал концерт Вальтера Росса, который вошел в каталог Parma-classic в номинации лучший концерт для контрабаса с оркестром 2013 года. В составе квартета контрабасов Bassiona Amorosa Артем участвовал в записи более 10 компакт-дисков. В 2004 году этот ансамбль был удостоен европейской премии «Лучший квартет года».
В настоящее время Артём Чирков является концертмейстером группы контрабасов Заслуженного коллектива Республики Академического симфонического оркестра Санкт-Петербургской филармонии.