Артём Мелихов окончил Санкт-Петербургскую государственную консерваторию имени Н. А. Римского-Корсакова (класс Д. Карпова). Лауреат международных конкурсов.
В 2009 году дебютировал на сцене Мариинского театра в постановке оперы «Война и мир» Прокофьева. С 2011 года — солист Академии молодых оперных певцов Мариинского театра, на сцене которого исполняет партии: Овлура («Князь Игорь»), Андрея Морозова («Опричник»), Чекалинского («Пиковая дама»), Звездочёта («Золотой петушок»), Князя Нильского, Первого крупье («Игрок»), Молодого фабричного, Лакея на балу, Вестового князя Андрея, Адъютанта принца Евгения, Сумасшедшего, Господина де Боссе («Война и мир»), Немецкого переводчика («Семен Котко»), Засечённого монаха, Князя, Магнетизёра, Старика в лесу, Рассказчика («Очарованный странник»), Гонца («Трубадур»), Эгиста («Электра»). В 2010 году принимал участие в мировой премьере оперы «Мистерия апостола Павла» Николая Каретникова в Концертном зале Мариинского театра (партия Нерона). Участвовал в премьерах спектаклей «Мёртвые души», «Ариадна на Наксосе», «Белые ночи» и «Идиот» на сцене Мариинского театра.
В 2013 году певец исполнил заглавную партию в премьерной постановке оперы «Риенци» Вагнера в Саратовском театре оперы и балета. Совместно с другими солистами Академии молодых оперных певцов участвовал в постановке оперы «Чародейка» Чайковского на сцене театра Сан-Карло в Неаполе, где исполнил партию Балакина.
Также в его репертуаре партии Ленского («Евгений Онегин»), Молодого цыгана («Алеко»), Лоэнгрина («Лоэнгрин»), партии тенора в поэме «Колокола» Рахманинова, Реквиемах Моцарта и Верди и «Страстях по Иоанну» Губайдулиной.