Азим Каримов родился в 1991 году в Пярну (Эстония). Окончил Музыкальный колледж при Московском государственном институте музыки имени А. Г. Шнитке по специальности «гобой» (2012, класс профессора Анатолия Любимова), Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (2018) и ассистентуру-стажировку МГК (2020) по специальности «оперно-симфоническое дирижирование» (классы профессоров Геннадия Рождественского и Анатолия Левина). Принимал участие в мастер-классах Владимира Юровского, Василия Синайского, Василия Петренко, Теодора Курентзиса и Ховарда Гриффитса. Лауреат I Международного конкурса оперно-симфонических дирижеров в Алма-Ате (2019), удостоен специальной премии на II Международном конкурсе дирижеров имени Антала Дорати в Будапеште (2018).
В 2009 году Азим Каримов основал камерный оркестр Entre Nous, который завоевал награды на всероссийских и международных конкурсах, в том числе на Международном музыкальном фестивале-конкурсе «Молодая Прага» (2011, Гран-при и Золотая медаль). В 2019 году оркестр под руководством Каримова участвовал в московской премьере оперы-притчи «Река Кёрлью» Бриттена в Англиканском соборе Святого Андрея (совместный проект Московской консерватории и лондонского Королевского колледжа музыки).
В качестве дирижера-ассистента сотрудничал с Владимиром Юровским, Михаилом Юровским, Мартином Браббинсом и Ховардом Гриффитсом. Принимал участие в Образовательной программе Дягилевского фестиваля в Перми (2016, 2017). На фестивале 2017 года выступил в качестве дирижера-постановщика премьеры оперы «Фрукты с самого дна вазы» Андрея Бесогонова в рамках проекта #брэдбериопера. В 2018 году этот проект вошел в лонг-лист Российской национальной театральной премии «Золотая маска».
В 2018 году Азим Каримов был художественным руководителем и дирижером Международного музыкального фестиваля в Киото (Япония). В 2019 году занимал пост главного дирижера оркестра Центра Павла Слободкина. С 2020 года – дирижер Московского государственного симфонического оркестра (художественный руководитель – Иван Рудин).