Богдан Волков родился в 1989 году в Торезе (Украина). В 2012 году окончил с отличием Киевский институт музыки имени Р. М. Глиэра (класс Николая Горбатова и Тамары Коваль), в 2013-м – Киевскую национальную музыкальную академию Украины имени П. И. Чайковского (класс Александра Дяченко).
Лауреат VI Открытого конкурса молодых вокалистов имени А. Соловьяненко (Гран-при, 2013), Парижского оперного конкурса (I премия и приз зрительских симпатий, 2015), Международного конкурса Пласидо Доминго «Опералия» (II премия, 2016), Российской национальной оперной премии «Онегин» (номинация «Дебют», 2017), премии Фонда Елены Образцовой (номинация «За яркое начало в искусстве», 2017), премии Casta Diva в номинации «Взлет» за партии Ленского и Царя Берендея (2019).
В 2013–2015 гг. был артистом Молодежной оперной программы Большого театра. В 2014 году дебютировал в партии Лыкова в новой постановке «Царской невесты» Римского-Корсакова под управлением Геннадия Рождественского. Исполнял эту роль на гастролях театра в Вене, Гонконге, Нью-Йорке. В 2015 году впервые спел партию Ленского в опере «Евгений Онегин» Чайковского (режиссер Дмитрий Черняков). В 2016 году принят в труппу Большого театра, на сцене которого исполнил роли Юродивого («Борис Годунов» Мусоргского), Владимира Игоревича («Князь Игорь» Бородина), Князя Мышкина («Идиот» Вайнберга), Царя Берендея («Снегурочка» Римского-Корсакова), Новичка («Билли Бадд» Бриттена) и многие другие. С 2018 года – солист Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова, где в его репертуаре – партии Ленского, Лыкова и Царя Берендея.
В сезоне 2017/18 Богдан Волков дебютировал на Глайндборнском фестивале в партии Феррандо («Так поступают все женщины» Моцарта) и в Метрополитен-опере в роли Тибальда («Ромео и Джульетта» Гуно). В том же сезоне исполнил партию Дона Оттавио («Дон Жуан» Моцарта) на сцене Московского академического музыкального театра имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко (МАМТ). В сезоне 2018/19 впервые выступил в Берлинской государственной опере (Антонио, «Обручение в монастыре» Прокофьева, дирижер Даниэль Баренбойм) и Королевском театре де ла Монне (Гвидон, «Сказка о царе Салтане» Римского-Корсакова, дирижер Ален Альтиноглу), режиссер-постановщик обоих спектаклей – Дмитрий Черняков.
В сезоне 2019/20 исполнил партию Тома Рейкуэлла в опере «Похождения повесы» Стравинского на сцене МАМТа, дебютировал в опере Лос-Анджелеса (Тамино, «Волшебная флейта» Моцарта) и Национальной опере Норвегии (Ленский, «Евгений Онегин»). В августе 2020 года впервые выступил на Зальцбургском фестивале (Феррандо, «Так поступают все женщины», дирижер Йоханна Мальвиц, режиссер Кристоф Лой).
В сезоне 2020/21 Богдан Волков дебютирует в Венской государственной опере (Ленский, «Евгений Онегин») и Баварской государственной опере (Фентон, «Фальстаф» Верди), а также вновь выступает на сцене Оперы Лос-Анджелеса (Дон Оттавио).