Борис Белкин родился в 1948 году в Свердловске. Обучался игре на скрипке с шести лет, в семилетнем возрасте впервые выступил с оркестром – под управлением Кирилла Кондрашина. Учился в Центральной музыкальной школе, затем в Московской консерватории под руководством Майи Глезаровой, Юрия Янкелевича и Феликса Андриевского. Со студенческих лет начал активно гастролировать по всему Советскому Союзу с ведущими оркестрами страны. В 1973 году окончил консерваторию и стал обладателем I премии Всесоюзного конкурса скрипачей.
После отъезда музыканта из России в 1974 году началась его международная карьера. Он выступает по всему миру с известнейшими коллективами, в числе которых Королевский оркестр Консертгебау (Амстердам), симфонические оркестры Бостона, Кливленда, Питтсбурга, Монреаля, Сиднея, Баварского Радио, лейпцигского Гевандхауса, Дрезденской государственной капеллы, цюрихского Тонхалле, Берлинский, Израильский, Лос-Анджелесский, Филадельфийский филармонические оркестры, ведущие оркестры Великобритании.
Среди дирижеров, с которыми сотрудничал скрипач, – Леонард Бернстайн, Владимир Ашкенази, Зубин Мета, Лорин Маазель, Риккардо Мути, Сейдзи Озава, Курт Зандерлинг, Юрий Темирканов, Кристоф фон Донаньи, Шарль Дютуа, Джанлуиджи Джельметти, Саймон Рэттл, Бернард Хайтинк, Пааво Берглунд, Мюнг-Вун Чунг, Юничи Хироками, Владимир Федосеев, Иван Фишер, Франц Вельзер-Мёст, Юрий Аронович, Леонард Слаткин, Майкл Стерн и многие другие. В камерных программах Борис Белкин играет с Юрием Башметом, Мишей Майским, Мишелем Дальберто и другими известными музыкантами.
В 1997 году по приглашению Исаака Стерна Борис Белкин выступал с ним на фестивале в Миядзаки (Япония). В 2010 году по приглашению Юрия Темирканова выступил на Международном фестивале «Неделя Мстислава Ростроповича в Москве» с Заслуженным коллективом России оркестром Санкт-Петербургской филармонии, с которым также в разные годы гастролировал в Европе, Южной Америке и Японии.
В дискографии артиста – записи, выпущенные фирмами Decca и Denon, в том числе концерты Паганини, Чайковского, Сибелиуса, Рихарда Штрауса, Брамса, Бруха, Шостаковича, Глазунова, Моцарта (с оркестром Salzburg Chamber Soloists), сонаты для скрипки и фортепиано Брамса (с Мишелем Дальберто). Борис Белкин записал на видео Скрипичный концерт Чайковского с Нью-Йоркским филармоническим оркестром под управлением Леонарда Бернстайна, с Национальным оркестром Франции под управлением Бернстайна – рапсодию «Цыганка» Равеля, с Королевским оркестром Консертгебау под управлением Бернарда Хайтинка – Первый концерт Паганини. В биографическим фильме, посвященном Яну Сибелиусу, он исполняет Скрипичный концерт композитора с оркестром Шведского Радио под управлением Владимира Ашкенази.
С 1986 года Борис Белкин регулярно проводит мастер-классы в Академии музыки Киджи в Сиене. С 1997 года преподает в Консерватории Маастрихта (Нидерланды), среди его учениц – Жанин Янсен.
Среди наиболее заметных ангажементов скрипача в сезонах 2018/19 и 2019/20 – участие в музыкальном фестивале в Сиене, концерты с Академическим симфоническим оркестром Московской филармонии под управлением Александра Лазарева и Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова под управлением Дмитрия Ситковецкого, Заслуженным коллективом России оркестром Санкт-Петербургской филармонии под управлением Юрия Темирканова, Мадридским симфоническим оркестром и Национальным оркестром Каталонии под управлением Владимира Ашкенази.
Играет на инструменте болонского мастера Роберто Регацци.