Борис Фрумкин родился в 1944 году в семье известного джазового трубача Михаила Фрумкина. Обучался по классу фортепиано в Центральной музыкальной школе при Московской консерватории и в Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского. Еще в ЦМШ увлекся джазом: творчеством оркестра Гленна Миллера, квартетов Дейва Брубека и Пола Дезмонда, Джерри Маллигана и Чета Бейкера, игрой Оскара Питерсона, Билла Эванса, Херби Хэнкока.
Музыкальную карьеру начал в Концертном эстрадном оркестре Всесоюзного радио и Центрального телевидения под руководством Вадима Людвиковского, где на протяжении многих лет выступал как пианист и аранжировщик, участвовал в джазовых фестивалях.
С 1973 года – пианист и аранжировщик ансамбля «Мелодия», в 1982–1992 гг. – художественный руководитель и дирижер коллектива. В числе ярких событий в истории ансамбля, состоявшихся при участии Бориса Фрумкина, – выступление в советско-американской постановке мюзикла Sophisticated Lady на музыку Дюка Эллингтона (1988/89). Спектакль выдержал 70 представлений в России и более 50 в Оперном театре Кеннеди-центра в Вашингтоне.
Борис Фрумкин – автор музыки к радиоспектаклям и телешоу (в том числе «Утренней почте»), нескольким художественным фильмам («Шофер на один рейс», «Время для размышлений», «Глянец» и др.). Среди самых известных произведений композитора – «Романтический вальс», «Ритмы большого города», «Самарская ярмарка», «Осенняя любовь», «Звезды над головой», «Счастливого пути», «Вспоминая друга». В 2017 году он создал большую сюиту для биг-бэнда «12 месяцев» – своего рода джазовые «Времена года». Сочинение было записано во время премьерного концерта в Московском международном Доме музыки, двойной альбом выпущен фирмой «Мелодия».
С 1996 года жил и работал в Германии, много концертировал, в том числе сольно, участвовал в фестивалях, в частности «Джаз Ралли» (1997, 1999).
В 2006 году, после успешного выступления трио Бориса Фрумкина и камерного ансамбля «Солисты Москвы» под управлением Юрия Башмета в Концертном зале имени П. И. Чайковского, музыкант получил предложение от Министерства культуры РФ возглавить Государственный камерный оркестр джазовой музыки имени Олега Лундстрема. С этого момента исполнительский уровень коллектива постоянно рос, расширялся круг его творческих достижений. Так, Оркестр имени Олега Лундстрема стал единственным джаз-бэндом, выступившим в зале Генеральной Ассамблеи ООН: концерт, посвященный 70-й годовщине Победы во Второй мировой войне, состоялся 6 мая 2015 года.
Борис Фрумкин – заслуженный артист РСФСР (1987), народный артист РФ (2014), член Союза композиторов России (с 1988 года).
