Борис Кушнир родился в 1948 году в Киеве в семье музыкантов. Обучался в Московской государственной консерватории (класс скрипки Бориса Беленького) и аспирантуре Российской академии музыки имени Гнесиных (класс струнного квартета Валентина Берлинского). Большое влияние на формирование музыканта оказало общение с Дмитрием Шостаковичем и Давидом Ойстрахом. Лауреат Всесоюзного конкурса скрипачей в Ленинграде (1969), а также многих международных скрипичных и камерно-ансамблевых конкурсов: в Париже, Белграде, Сионе, Трапани, Братиславе, Флоренции, Триесте, Гориции, Гамбурге, Верчелли.
С 1981 года живет и работает в Австрии. С 1984 года – профессор Венского университета музыки и исполнительского искусства, с 1999-го – Университета музыки и театра Граца. В числе его учеников – лауреаты самых престижных конкурсов, звезды современного исполнительства: Юлиан Рахлин, Николай Цнайдер, Лидия Баич, Далибор Карвай, Патриция Копачинская, Александра Сумм, Лоренцо Гатто, Сергей Догадин, Павел Милюков, Мария Дуэньяс; а также профессора высших учебных заведений, артисты различных ансамблей и оркестров, в том числе Венского филармонического.
Маэстро регулярно проводит международные мастер-классы, в частности, в Академии Кронберга и в рамках фестиваля в Вербье. Является почетным профессором Центральной музыкальной консерватории в Пекине. Входит в состав жюри международных конкурсов: имени королевы Елизаветы в Брюсселе, П. И. Чайковского в Москве, Никколо Паганини в Генуе, Маргерит Лонг и Жака Тибо в Париже, Йозефа Иоахима в Ганновере, Тибора Варги в Сьоне, Давида Ойстраха в Москве, Пабло Сарасате в Памплоне, Джордже Энеску в Бухаресте, конкурса Майкла Хилла в Новой Зеландии, скрипичного в Индианаполисе, конкурса молодых музыкантов «Евровидение», Monte Carlo Violin Masters в Монако и других.
Выступает в крупнейших залах мира: венском Музикферайне, миланском театре Ла Скала, венецианском Ла Фениче, лондонском Уигмор-холле, амстердамском Консертгебау, парижском Театре Елисейских Полей, Берлинской филармонии, Большом зале Московской консерватории, токийских Сантори-холле и Мемориальном зале Исибаси. Принимал участие в известных музыкальных фестивалях в Зальцбурге, Вербье, Вене, Безансоне, Вашингтоне, Сполето, Неаполе, Стрезе, Брегенце, Мекленбурге – Передней Померании, Гидона Кремера в Локенхаусе, «Звезды белых ночей» в Санкт-Петербурге, «Декабрьские вечера Святослава Рихтера» в Москве, «Юлиан Рахлин и его друзья» в Дубровнике.
В числе партнеров по ансамблю – пианисты Лейф Ове Аннснес, Елена Башкирова, Борис Березовский, Итамар Голан, Елизавета Леонская, Жан-Ив Тибоде, скрипачи Максим Венгеров, Дэвид Гарретт, Рено Капюсон, Юлиан Рахлин, Дмитрий Ситковецкий, Николай Цнайдер, альтисты Юрий Башмет, Нобуко Имаи, Дэвид Аарон Карпентер, Жерар Коссе, Лоуренс Пауэр, Вероника Хаген, виолончелисты Соль Габетта, Наталия Гутман, Стивен Иссерлис, Готье Капюсон, Миша Майский, Иван Монигетти, музыканты Квартета Альбана Берга и другие.
Борис Кушнир – основатель Московского струнного квартета (1970), участником которого оставался до 1979 года, а также основатель Венского Шуберт-трио (Wiener Schubert Trio, 1984) и Венского Брамс-трио (Wiener Brahms Trio, 1993). Ансамбли осуществили множество записей на ведущих фирмах, были удостоены высоких наград. В 2002 году Борис Кушнир стал одним из организаторов и участников Копельман-квартета, с которым гастролирует по всему миру и записывается на фирмах Nimbus Records и Wigmore Hall Live.
Музыкант удостоен почетного знака «За заслуги перед Австрийской Республикой» (2008), Австрийского почетного креста «За науку и искусство» I степени (2013) и Большого почетного знака Штирии (2018). Играет на скрипке La Rouse Boughton Антонио Страдивари (1703), предоставленной Национальным банком Австрии.
