Борис Стаценко родился в Челябинской области. Окончил Челябинское музыкальное училище, Московскую государственную консерваторию и ассистентуру-стажировку МГК (классы профессоров Гуго Тица и Петра Скусниченко). Лауреат международных конкурсов «Гран-при Марии Каллас» в Афинах (1989, III премия) и имени П. И. Чайковского в Москве (1990, II премия).
В 1987–1990 гг. – солист Камерного музыкального театра под руководством Бориса Покровского. В 1990–1995 гг. – солист Большого театра России, на сцене которого исполнял партии Елецкого и Роберта («Пиковая дама» и «Иоланта» Чайковского), Фигаро («Севильский цирюльник» Россини), Жермона («Травиата» Верди), Валентина («Фауст» Гуно), Сильвио («Паяцы» Леонкавалло) и другие. Позднее, уже как приглашенный солист театра, выступал в заглавных партиях в «Набукко» и «Макбете» Верди, партиях Дона Карлоса («Сила судьбы» Верди), Томского («Пиковая дама» Чайковского), Рупрехта и Наполеона («Огненный ангел» и «Война и мир» Прокофьева).
В 1993–1999 гг. – приглашенный солист Оперного театра Хемница. В 1999–2017 гг. – солист Немецкой оперы на Рейне (Дюссельдорф – Дуйсбург), с которой продолжает сотрудничать. Участвовал в постановках театров Германии (Дрезден, Берлин, Гамбург, Франкфурт, Штутгарт, Эссен, Кёльн, Бонн, Висбаден), Франции (Париж, Бордо, Тулуза, Страсбург, Марсель, Монпелье, Тулон, Лимож), Италии (Венеция, Падуя, Турин, Палермо, Триест, Римини), Бельгии (Брюссель, Льеж), театров Лондона, Амстердама, Люксембурга, Копенгагена, Хельсинки, Будапешта, Праги, Граца, Афин, Токио, Мехико и других. Принимал участие в Людвигсбургском фестивале, выступая в операх Верди «Стиффелио» (Штанкар), «Трубадур» (Граф ди Луна), «Набукко» (Набукко), «Эрнани» (Дон Карлос) и «Бал-маскарад» (Ренато). Участник Шаляпинского фестиваля в Казани, фестиваля в Лукке (Италия) и других.
Всего в репертуаре певца более 50 партий. В их числе Риголетто, Макбет и Набукко в одноименных операх Верди, Амонасро, Яго, Ренато, Жермон («Аида», «Отелло», «Бал-маскарад», «Травиата» Верди), Скарпиа («Тоска» Пуччини), Микеле («Плащ» Пуччини), Эскамильо («Кармен» Бизе), Линдорф, Коппелиус, Миракль и Дапертутто («Сказки Гофмана» Оффенбаха), Тонио («Паяцы» Леонкавалло), Хореб («Троянцы» Берлиоза), Гельнер («Валли» Каталани), Шарль Жерар («Андре Шенье» Джордано), Амфортас («Парсифаль» Вагнера), Царь Додон («Золотой петушок» Римского-Корсакова), Рупрехт («Огненный ангел» Прокофьева).
Борис Стаценко ведет активную концертную деятельность, выступая в разных странах мира; дал более 100 концертов в Японии.
Среди недавних ангажементов: «Набукко» в театре Ровиго (Италия) и Татарском театре оперы и балета имени Мусы Джалиля в Казани, «Аида» (Амонасро) и «Тоска» (Скарпиа) на сцене Арена ди Верона, «Сила судьбы» (Фра Мелитоне) в Израильской опере, «Пиковая дама» Чайковского (Томский) в Оперном театре Осло, «Искатели жемчуга» Бизе (Зурга) в Большом театре Люксембурга. Певец принимал участие в исполнении кантаты «Весна» Рахманинова в Филармоническом театре Вероны и в гала-концерте к 100-летию со дня рождения Юрия Любимова в Большом театре России. В планах артиста – «Риголетто» в Венской народной опере и «Макбет» в Дюссельдорфе (премьера).
