Давид Целаури родился в 1983 году. Окончил Московский государственный институт музыки имени А. Г. Шнитке (2014, класс профессора А. Белоусовой). С 2009 по 2011 год учился также в Центре оперного пения Г. Вишневской, где его педагогами были Г. Вишневская, М. Касрашвили и А. Белоусова. В Центре оперного пения исполнял партии Руслана («Руслан и Людмила» Глинки), Варлаама («Борис Годунов» Мусоргского), Бертрана («Иоланта» Чайковского), Малюты Скуратова («Царская невеста» Римского-Корсакова) и Цуниги («Кармен» Бизе). Занимался в Международной творческой школе вокального мастерства Е. Образцовой. Принимал участие в мастер-классах Миреллы Френи, Себастиана Шварца, Мауро Тромбетты, Алессандро Сваба, Алессио Влада, Дмитрия Вдовина.
Лауреат Пятого Независимого международного конкурса оперных певцов (2014, I премия), конкурса «Романсиада без границ» (2015, III премия) и Международного конкурса Bella voce (2011, III премия) в Москве, Международного фестиваля-конкурса Musica classica в Рузе (2009, II премия), дипломант Международного оперного конкурса New Opera World (2016), обладатель специального приза «лучшему басу» от Шаляпинского центра в Москве (2011).
С 2015 года — солист Московского театра Б. Певзнера. С 2016 — приглашённый солист Государственной академической симфонической капеллы России под управлением В. Полянского, с которой участвовал в исполнении опер «Война и мир» Прокофьева (партии Генерала Бельяра, Камердинера, Старого лакея, Адъютанта из свиты) на сцене Концертного зала имени П. И. Чайковского и Государственного академического Большого театра России, «Отелло» Верди (партия Монтано) в Концертном зале имени П. И. Чайковского и «Большой молнии» Шостаковича в Большом зале Консерватории (партия Управляющего). С 2016 года является приглашённым солистом Большого театра, в сезоне 2016-2017 исполнял партию первого баса в опере Стравинского «Байка про лису, петуха, кота да барана».
Сотрудничал с дирижёрами Валерием Полянским, Михаилом Юровским, Евгением Бражником, Александром Соловьёвым, Антоном Гришаниным, Ярославом Ткаленко, режиссёрами Иваном Поповски, Дмитрием Белянушкиным, Александром Бармаком.
Гастролировал в России, Белоруссии, Польше, Чехии, Нидерландах. В 2010 году исполнил партию Цуниги («Кармен») на сцене Азербайджанского государственного академического театра оперы и балета в Баку.