Давид Посулихин родился в 1994 году в Орле. Окончил Музыкальное училище имени Гнесиных (2014, класс профессора Николая Васильева) и Российский институт театрального искусства (ГИТИС, 2018, мастерская профессора Дмитрия Бертмана, класс вокала профессора Николая Васильева). Во время учебы исполнял партии Ленского («Евгений Онегин» Чайковского), Вашека («Проданная невеста» Сметаны), Неморино, Беппо («Любовный напиток», «Рита» Доницетти) и Николая Фигаренко («Женитьба Фигаренко» Таривердиева). 

Лауреат Московского международного открытого фестиваля академического сольного пения «Серебряный голос» (2013, I степень), Международного студенческого конкурса вокалистов Лидии Абрамовой Bella voce (Москва, 2014, I премия), XIV Молодежных Дельфийских игр России (Орел, 2015, II премия) и Международного конкурса вокалистов имени А. П. Иванова (Тверь, 2015, II премия).

С 2018 года – артист Молодежной оперной программы Большого театра России. В рамках программы совершенствовался под руководством известных певцов и вокальных педагогов, среди которых Нил Шикофф, Эва Мартон, Алессандро Аморетти, Любовь Орфёнова, Семён Скигин и Ивари Илья. Принимал участие в концертах в Бетховенском зале театра, а также в гастролях Большого в Париже и Ницце. Участвовал в Международной музыкальной академии Зимнего международного фестиваля искусств Юрия Башмета в Сочи (2018) и программе для молодых артистов Fabbrica в Римской опере (2019). 

Приглашенный солист Московского музыкального театра «Геликон-опера», на сцене которого исполнял партии в операх «Садко» Римского-Корсакова (Индийский гость), «Пирам и Фисба» Лэмпа (Пирам) и «Волшебная флейта» Моцарта (Тамино, номинирован на Российскую национальную театральную премию «Золотая маска» в категории «Опера/мужская роль»).