Дмитрий Башкиров родился в Баку в 1980 году. В 2005 году окончил Нижегородскую государственную консерваторию имени М. И. Глинки (класс профессора А. М. Седова). В разные годы был солистом Нижегородского академического театра оперы и балета, Сыктывкарского театра оперы и балета, Петрозаводского музыкального театра и Воронежского театра оперы и балета (с 2015 года работал также заведующим оперной труппой).
С 2016 года Дмитрий Башкиров — солист Московского музыкального театра «Геликон-опера». Исполняет партии: Калафа («Турандот» Дж. Пуччини), Ленского («Евгений Онегин» П. Чайковского), Беппе («Паяцы» Р. Леонкавалло), Графа Орлова («Царица» Д. Тухманова) и Гааза («Доктор Гааз» А. Сергунина).
Победитель IМеждународного конкурса вокалистов имени Б. Т. Штоколова в Санкт-Петербурге, обладатель II премии I Международного конкурса вокалистов имени С. В. Рахманинова в Ростове-на-Дону. Стипендиат Вагнеровского фестиваля в Байройте (Германия, 2012).
Принимает участие в программах арт-проекта «ТенорА XXI века».