Дмитрий Чеблыков родился в Ташкенте. Окончил Ростовский колледж искусств, затем Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (класс Анатолия Лошака). Принимал участие в постановках оперной студии консерватории, исполнил партию Доктора в мировой премьере оперы «Король шахмат» Александра Чайковского. В настоящее время проходит ассистентуру-стажировку в Академии хорового искусства имени В. С. Попова (класс профессора Дмитрия Вдовина). В 2017–2021 гг. был артистом Молодежной оперной программы Большого театра, где его наставником был Дмитрий Вдовин.
Лауреат II Всероссийского конкурса имени Наталии Шпиллер «Шедевры русской музыки» (I премия, 2015), IX Международного конкурса вокалистов имени А. П. Иванова в Твери (I премия, 2015), VII Всероссийского конкурса молодых вокалистов имени Н. А. Обуховой в Липецке (II премия, 2016), XIII Международного конкурса молодых оперных певцов Елены Образцовой в Санкт-Петербурге (I премия, 2021), Международного конкурса Пласидо Доминго «Опералия» в Москве (III премия, 2021).
В 2016 году участвовал в концертном исполнении оперы «Война и мир» Прокофьева с Госкапеллой России под управлением Валерия Полянского (партия Денисова) и концертном исполнении оперы «Ариадна на Наксосе» Р. Штрауса с Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова под управлением Владимира Юровского (партия Лакея). В 2019 году выступил в концерте, посвященном 80-летию Елены Образцовой, в зале «Зарядье» с оркестром театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова («Кармен» Бизе в концертном исполнении – партия Моралеса); принял участие в Россиниевском оперном фестивале в Пезаро («Путешествие в Реймс» – Лорд Сидней); дебютировал в «Новой опере» в партии Алидоро («Золушка» Россини).
В 2021 году выступил в Большом театре России в партиях Фонарщика («История Кая и Герды» Сергея Баневича), Лебедева («Идиот» Вайнберга) и Стенио («Маддалена» Прокофьева, Камерная сцена), а также дебютировал в партии Мизгиря («Снегурочка» Римского-Корсакова) в Новосибирском театре оперы и балета. В июне 2022 года состоялся дебют певца в роли Эскамильо («Кармен» Бизе) в Оперном театре Осло.
