Дмитрий Колеушко родился в Донецке. Окончил Донецкую государственную музыкальную академию имени С. С. Прокофьева (2006, класс профессора Геннадия Каликина). В 2003–2006 годах – солист Донецкого государственного академического театра оперы и балета имени А. Б. Соловьяненко. В 2006 году был принят в Академию молодых певцов Мариинского театра. Исполнял партии Трике («Евгений Онегин» Чайковского), Черта, Дьяка и Бобыля Бакулы («Ночь перед Рождеством» и «Снегурочка» Римского-Корсакова), Принца и Труффальдино («Любовь к трем апельсинам» Прокофьева), Моностатоса («Волшебная флейта» Моцарта), Графа Альмавивы и Дона Луиджино («Севильский цирюльник» и «Путешествие в Реймс» Россини), Скарамуша и Танцмейстера («Ариадна на Наксосе» Р. Штрауса), Лесника («Русалка» Дворжака), Ивана Ивановича («Опера о том, как поссорился Иван Иванович с Иваном Никифоровичем» Банщикова) и многие другие.
Ведет активную концертную деятельность. Принимал участие в фестивалях «Петербургская весна» и «От авангарда до наших дней» в Санкт-Петербурге. С труппой Мариинского театра гастролировал в Германии, Италии, Франции, Финляндии и Норвегии. Участвовал в концертах солистов Академии молодых певцов в Москве, Сочи, на Московском Пасхальном фестивале, фестивалях «В гостях у Ларисы Гергиевой» во Владикавказе и к 200-летию со дня рождения Николая Гоголя в Мариинском театре. В его репертуаре также – партии в операх «Пиковая дама» Чайковского, «Женитьба» Мусоргского, «Игрок» Прокофьева, «В бурю» Хренникова, «Оранго» Шостаковича, «Укрощение строптивой» Шебалина, «Идиот» Вайнберга, «Мертвые души» и «Левша» Щедрина, «Сцены из жизни Николеньки Иртеньева» Баневича, «Станционный смотритель» Смелкова, «Идоменей» Моцарта, «Бенвенуто Челлини» Берлиоза, «Кармен» Бизе, «Сказки Гофмана» Оффенбаха, «Испанский час» Равеля, «Сон в летнюю ночь» и «Поругание Лукреции» Бриттена.