Дмитрий Крюков окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (2015, класс профессора Валерия Полянского) и аспирантуру МГК (2017). Лауреат международного конкурса «Дебют в гамбургском Лейсхалле» (Debut Hamburg) в Германии (2016).
В 2009 году принят ассистентом дирижера в Государственную академическую симфоническую капеллу России под управлением Валерия Полянского. В 2014 году был приглашен в Большой театр России в качестве ассистента Геннадия Рождественского на постановку оперы «Царская невеста» Римского-Корсакова и дебютировал на Исторической сцене. В 2015 году провел «Царскую невесту» на гастролях театра в Гонконге, в 2016 году с коллективом ГАБТа записал спектакль на DVD.
Репертуар дирижера включает более 70 опер, а также оркестровую и кантатно-ораториальную музыку различных эпох и стилей от И. С. Баха до Губайдулиной. Он регулярно сотрудничает с известными коллективами, в числе которых Госоркестр России имени Е. Ф. Светланова, Российский национальный оркестр, Академический симфонический оркестр Московской филармонии, Симфонический оркестр Большого театра России и другие.
С 2018 года – главный приглашенный дирижер Национального симфонического оркестра Республики Башкортостан, с 2019 года – главный дирижер. В 2021 году удостоен почетного звания «Заслуженный артист Республики Башкортостан».
В качестве главного дирижера НСО РБ Дмитрий Крюков в 2021 году впервые представил программы оркестра в Концертном зале имени П. И. Чайковского и Большом зале Санкт-Петербургской академической филармонии имени Д. Д. Шостаковича. В том же году коллектив гастролировал в Татарстане и Удмуртии, впервые выступил на VI Симфоническом форуме России в Екатеринбурге. В мае 2022 года НСО РБ под управлением Дмитрия Крюкова представил мировую премьеру «Военной кантаты» Давида Кривицкого в Большом зале Московской консерватории в рамках X Международного открытого фестиваля искусств «Дню Победы посвящается».