Дмитрий
Почапский родился в Москве в семье музыкантов. Первоначально получил образование как
виолончелист в Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского.
Работал в Российском национальном оркестре, камерных оркестрах Центра Павла
Слободкина и «Времена года».
В 2009 году окончил Международный славянский институт (Вокальный факультет, класс профессора Е. С. Новиковой). С 2006 по 2010 год был артистом Академического Большого хора «Мастера хорового пения» Российского государственного музыкального телерадиоцентра (художественный руководитель — Лев Конторович), исполнял сольные партии в Мессе си минор И. С. Баха, Реквиеме Моцарта и других произведениях. В 2007 году стал солистом Оперного театра-студии имени С. С. Прокофьева. Проходил стажировку в Центре оперного пения Галины Вишневской (2009—2011), принимал участие в мастер-классах Шерила Милнса и Кристы Людвиг. Лауреат II премии «Независимого конкурса оперных певцов».
С 2012 года Дмитрий Почапский — солист Московского государственного академического Детского музыкального театра имени Н. И. Сац. Выступал в Английской национальной опере (лондонский «Колизеум»), театре Bord Gáis Energy (Дублин), Волгоградском театре оперы и балета, Государственном театре оперы и балета Республики Саха (Якутия), гастролировал с концертами в Италии. В Большом театре России исполняет партию баса в «Байке про лису, петуха, кота да барана» И. Стравинского.
В репертуаре певца также партии в операх «Борис Годунов» М. Мусоргского, «Царская невеста», «Золотой петушок» и «Моцарт и Сальери» Н. Римского-Корсакова, «Евгений Онегин» и «Иоланта» П. Чайковского, «Руслан и Людмила» М. Глинки, «Князь Игорь» А. Бородина, «Риголетто» и «Аида» Дж. Верди, «Золото Рейна» и «Валькирия» Р. Вагнера, «Мадам Баттерфляй» Дж. Пуччини, «Дитя и волшебство» М. Равеля, «Соловей» И. Стравинского.