Эйюб Кулиев родился в Баку. В 2005 году окончил Бакинскую музыкальную академию имени Узеира Гаджибекова и продолжил образование в аспирантуре Санкт-Петербургской государственной консерватории имени Н. А. Римского-Корсакова (класс профессора Александра Полищука). Совершенствовался в Венском университете музыки и исполнительского искусства у профессора Марка Стрингера, Европейской музыкальной академии в Теплице (Чехия) у Иоганнеса Шлефли.
Победитель международных конкурсов дирижеров имени Артуро Тосканини в Парме (Италия, 2011, Гран-при и Премия Джузеппе Синополи), имени Витольда Лютославского в Белостоке (Польша, 2006, I премия) и в Крайове (Румыния), лауреат конкурса «Дебют в Ляйсхалле» в Гамбурге (IIпремия), обладатель специальной премии оркестра на конкурсе имени Димитриса Митропулоса в Афинах.
Выступал на крупнейших концертных площадках и дирижировал знаменитыми коллективами, в числе которых Королевский филармонический оркестр (Лондон), Филармонический оркестр Радио Франс, Венский камерный оркестр, Академический симфонический оркестр Московской филармонии, Российский национальный оркестр, ведущие оркестры Азербайджана, Узбекистана, Киргизии, Казахстана, Молдовы, Словакии, Венгрии, Турции, Литвы, Греции, Чехии, Польши, Китая и др.
В настоящее время – главный дирижер и музыкальный руководитель Государственного театра оперы и балета Азербайджана. Доцент Бакинской музыкальной академии имени Узеира Гаджибекова.
Приглашенный дирижер Международного филармонического оркестра Куньмина (Китай), Мариинского театра в Санкт-Петербурге, Татарского академического государственного театра оперы и балета имени Мусы Джалиля в Казани, Белорусского государственного театра оперы и балета в Минске и Словацкого камерного оркестра имени Богдана Вархала. Вел спектакли в Михайловском театре Санкт-Петербурга, Национальном театре Белграда (Сербия), Вроцлавской опере (Польша) и др.
Удостоен почетного звания «Заслуженный артист Азербайджана». Награжден Золотым крестом Венгерского ордена Заслуг, имеет несколько национальных наград и званий, лауреат ежегодной Президентской Государственной премии для музыкантов.
