Елена Башкирова родилась в 1958 году в Москве, в семье пианиста и педагога Дмитрия Башкирова и скрипачки Веры Башкировой. Обучалась в Центральной музыкальной школе при Московской консерватории, затем в Московской государственной консерватории в классе своего отца. В начале 1980-х годов эмигрировала из СССР.
Выступает с ведущими коллективами мира, в числе которых Филармонический оркестр Северогерманского радио (NDR), оркестры Берлинского Концертхауса, Берлинского радио, Кёльнского радио (WDR), Мюнхенский филармонический, Гюрцених-оркестр (Кёльн), Немецкий симфонический оркестр (Берлин), Государственная капелла Халле, симфонические оркестры Бамберга, Дюссельдорфа, Чикаго, Далласа, Хьюстона, Национальный симфонический оркестр Вашингтона, Венский симфонический, Израильский филармонический, Оркестр де Пари и другие. Сотрудничала с выдающимися дирижерами, среди которых Серджу Челибидаке, Пьер Булез, Зубин Мета, Кристоф Эшенбах, Рафаэль Фрюбек де Бургос, Семен Бычков, Джеймс Конлон, Лоуренс Фостер, Клаус Петер Флор, Дэвид Робертсон, Михаэль Гилен.
С самого начала своей карьеры Елена Башкирова уделяет большое внимание камерному исполнительству. В 1970–1980-х гг. много выступала и записывалась в дуэте со скрипачом Гидоном Кремером. Регулярно играет с ансамблем «Вена – Берлин» (руководитель – австрийский скрипач Райнер Хонек), выступает с известными вокалистами, такими как Стелла Дуфексис, Роберт Холл, Томас Квастхофф, Андреас Шмидт. В 1998 году организовала и возглавила Иерусалимский международный фестиваль камерной музыки. С ансамблем фестиваля гастролирует по Европе и США, а также выступает на международных летних фестивалях в Люцерне, Рейнгау, Ментоне, Бад-Киссингене, Стрезе, Шлезвиг-Гольштейне.
Основатель «Мегаполис-ансамбля» в Берлине. Регулярно исполняет современную музыку, неоднократно становилась первым исполнителем новых произведений. В 2018 году удостоена звания Почетного доктора Университета имени Давида Бен-Гуриона в Негеве. Муж Елены Башкировой – выдающийся дирижер и пианист современности Даниэль Баренбойм; младший сын Михаил – известный скрипач, солист, примариус струнного квартета Erlenbusch.