Уроженец Йоркшира Эндрю Гринвуд учился в Clare College в Кембридже и с 1977 по 1984 год работал пианистом-концертмейстером в Лондонской Королевской опере Covent Garden; с 1984 по 1990 год был хормейстером в Уэльской национальной опере. В 1990 году он дебютировал как дирижер в Английской национальной опере («Волшебная флейта» Моцарта) и позже в этом же театре дирижировал такими спектаклями, как «Дон Жуан» Моцарта, «Мадам Баттерфляй» Пуччини и «Дон Паскуале» Доницетти. С 2006 по 2011 год Эндрю Гринвуд был художественным руководителем Бактонского фестиваля, где осуществил в качестве музыкального руководителя постановки опер Доницетти «Мария ди Роган» и «Роберто Девере», а также опер «Миньон» Тома и «Луиза Миллер» Верди. С 1996 по 2002 год Эндрю Гринвуд был директором оперной труппы English Touring Opera, а также выступал в Королевской Датской опере и Кельнской опере.
В качестве симфонического дирижера Эндрю Гринвуд выступал с такими оркестрами, как лондонская The Philharmonia, Королевский филармонический оркестр, City of London Sinfonia, English Northern Sinfonia, Уэльский национальный оркестр BBC, Роттердамский филармонический оркестр и другими. В числе ангажементов дирижера в последние годы – «Летучая мышь» И. Штрауса, «Богема» Пуччини и «Травиата» Верди в Уэльской национальной опере, «Альберт Херринг» Бриттена в Новом Национальным театре в Токио, выступления на Уэксфордском оперном фестивале, концерты со Стамбульским государственным симфоническим оркестром.