Евгений Алешников родился в 1961 году в Белгороде. Окончил Воронежский государственный институт искусств по специальностям «гитара» (класс Сергея Корденко) и «дирижирование» (класс Гаррия Оганезова), продолжил обучение дирижированию в аспирантуре вуза.
На протяжении 15 лет возглавлял симфонический оркестр Белгородского государственного музыкального училища имени С. А. Дегтярева. С 2009 года – главный дирижер Оркестра русских народных инструментов Белгородской государственной филармонии. С 2013 года – художественный руководитель филармонии.
Коллектив под руководством Евгения Алешникова принимал участие во всероссийских фестивалях имени Андрея Петрова (Белгород, 2010), «Музыка России» (Москва, 2011, 2012), имени М. И. Глинки (Смоленск, 2011), гастролировал в городах России и Беларуси.
При участии маэстро и оркестра в Белгородской филармонии состоялись Парад дирижеров и конференция Ассоциации дирижеров профессиональных оркестров народных инструментов Союза концертных деятелей России (2012).
Евгений Алешников – заслуженный работник культуры РФ, награжден медалью «За заслуги перед землей Белгородской» II степени (2016).