Феликс Коробов родился в 1972 году в Иркутске. Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского по специальностям «виолончель» (класс профессора Марии Чайковской, 1996) и «оперно-симфоническое дирижирование» (класс профессора Василия Синайского, 2002); а также аспирантуру консерватории по специальности «струнный квартет» (класс профессора Андрея Шишлова, 1998).
Был концертмейстером группы виолончелей Государственной академической симфонической капеллы России под управлением Валерия Полянского (1996–2000); ассистентом главного дирижера и концертмейстером группы виолончелей Госоркестра России имени Е. Ф. Светланова (2000–2002); главным дирижером театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова (2004–2006), где поставил оперы «Норма» Беллини, «Царская невеста» Римского-Корсакова и др.
С 2004 года – главный дирижер Московского академического музыкального театра имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко. Выступил музыкальным руководителем постановок опер «Травиата», «Сила судьбы», «Аида», «Макбет» и «Отелло» Верди, «Вертер» и «Манон» Массне, «Итальянка в Алжире» Россини, «Замок герцога Синяя Борода» Бартока, «Евгений Онегин» Чайковского, «Майская ночь» Римского-Корсакова, «Война и мир» Прокофьева, «Царь Эдип» Стравинского, балетов «Каменный цветок» и «Золушка» Прокофьева, «Неаполь» на музыку Гаде, Хельстеда, Паулли, Лумбю; осуществил мировые премьеры оперы «Гамлет (датский) (российская) комедия» Кобекина, оперного диптиха «Песни у колодца» Елены Лангер и «Слепые» Леры Ауэрбах; российские премьеры опер «Сократ» Сати и «Бедный матрос» Мийо, балетов «Русалочка» и «Татьяна» Леры Ауэрбах, «Маленькая смерть. Шесть танцев» на музыку Моцарта; московские премьеры оперы «Медея» Керубини, балета «Манон» на музыку Массне. В репертуаре дирижера свыше 30 оперных спектаклей.
Феликс Коробов ввел в МАМТе практику симфонических концертов, представив программы, посвященные творчеству Рахманинова, Равеля, Шостаковича, Бетховена и др. С оркестром театра выступали солисты Пауль Бадура-Шкода, Дмитрий Башкиров, Денис Мацуев, Саяка Сёдзи, Хибла Герзмава, Сергей Лейферкус, Владимир Галузин и др. В 2008 году под управлением Феликса Коробова в Австрии был выпущен компакт-диск оркестра с произведениями Брамса (солист – Пауль Бадура-Шкода). Дирижер сотрудничал с балетмейстерами Джоном Ноймайером, Олегом Виноградовым, Юрием Григоровичем. С Юрием Вамошем осуществил постановку балета «Спартак» Хачатуряна в Немецкой опере на Рейне (Дюссельдорф).
Музыкант успешно гастролирует как дирижер и виолончелист. Выступал с симфоническими оркестрами России, Германии, Италии, Испании, Финляндии, Эстонии, Латвии, Грузии, Китая, США и других стран. Главный приглашенный дирижер Оркестра Государственного Эрмитажа («Санкт-Петербург Камерата»). С 2017 года регулярно сотрудничает с миланским театром Ла Скала, где осуществил возобновления балетов Джона Кранко («Онегин»), Кеннета Макмиллана («Манон»), Рудольфа Нуреева («Спящая красавица»), спектакля «Баланчин/Килиан/Бежар».
С июня 2024 года — главный приглашенный дирижер БСО имени П. И. Чайковского.
С 2007 года преподает в Московской консерватории на кафедре оперно-симфонического дирижирования, является художественным руководителем и главным дирижером Камерного оркестра МГК. Участвовал в работе жюри международных конкурсов: вокалистов имени М. И. Глинки, камерных ансамблей имени Т. А. Гайдамович, исполнителей на духовых и ударных инструментах Московской консерватории, фестиваля «Золотая маска».
Народный артист Российский Федерации (2020), заслуженный артист Российской Федерации (2008) и Республики Абхазия (2012), лауреат Национальной театральной премии «Золотая маска» (2012), премии Фонда Ирины Архиповой (2012), Премии Москвы в области литературы и искусства (2016).
