Филипп Чижевский родился в 1984 году в Москве. Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского по двум специальностям: «хоровое дирижирование» (2008, класс профессора Станислава Калинина) и «оперно-симфоническое дирижирование» (2010, класс профессора Валерия Полянского). Руководил хором Государственного музыкального колледжа имени Гнесиных, где также преподавал дирижирование. Лауреат Всероссийского конкурса дирижеров в Москве (2008).
В 2008 году совместно с Марией Грилихес основал ансамбль Questa Musica, с которым работает в России и за рубежом. Вместе с ансамблем принимал участие в крупных проектах, среди которых постановки опер Пёрселла «Дидона и Эней» (Музей-усадьба «Архангельское», 2011) и «Королева фей» (Большой зал Московской консерватории, 2017), оперы «Франциск» Сергея Невского (Большой театр, 2012), «Сказки о солдате» Стравинского (Театральный центр на Страстном, 2013), оперного сериала «Сверлийцы» (Электротеатр Станиславский, 2015), оперы «Галилео» для скрипки и ученого (Электротеатр Станиславский, 2017) и оратории «Триумф Времени и Бесчувствия» Генделя (Музыкальный театр имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко, 2018).
С 2011 года преподает в Московской консерватории (кафедра оперно-симфонического дирижирования).
С 2011 года – дирижер Государственной академической симфонической капеллы России под руководством Валерия Полянского. Ассистировал Геннадию Рождественскому при подготовке абонементных концертов коллектива, участвовал с оркестром капеллы в проведении I Всероссийского музыкального конкурса, за что был удостоен Благодарности Министра культуры Российской Федерации. Провел премьеру оперы Майкла Наймана «Пролог к Дидоне и Энею Пёрселла» в Перми (2012).
В 2014 году выступил в качестве дирижера-постановщика оперы «Так поступают все женщины» Моцарта в Бурятском государственном академическом театре оперы и балета. В 2016 году в рамках V фестиваля «Другое пространство» совместно с Владимиром Юровским и Фуадом Ибрагимовым представил российскую премьеру «Групп» Штокхаузена для трех оркестров и трех дирижеров (Концертный зал имени П. И. Чайковского). В 2018 году провел мировую премьеру сочинения «T–S–D» для виолончели с оркестром Гии Канчели на открытии X Международного фестиваля виолончельной музыки VIVACELLO.
С 2014 года – приглашенный дирижер Большого театра России. Дирижер-постановщик оперетты «Перикола» Оффенбаха на Камерной сцене Большого театра (2019), а также одноактных опер «Дневник Анны Франк» Григория Фрида и «Белая роза» Удо Циммермана (2021). В 2021 года выступил дирижером-постановщиком оперы «Кармен» Бизе в Пермском театре оперы и балета имени П. И. Чайковского, в 2023 году – оперы «Летучий голландец» Вагнера в Перми и Москве (совместная постановка Пермской оперы с Московским театром «Новая опера» имени Е. В. Колобова).
С сезона 2024/25 – художественный руководитель Государственного академического симфонического оркестра России имени Е. Ф. Светланова.
Сотрудничает со многими известными российскими и зарубежными оркестрами, солистами и режиссерами. Со скрипачом Романом Минцем, Филармоническим оркестром Брно и Литовским камерным оркестром записал «Эскизы к закату» и «Русские сезоны» Леонида Десятникова; с пианистом Андреем Гугниным и Загребским филармоническим оркестром – Фортепианный концерт Бориса Папандопуло.
В 2019 году удостоен Международной профессиональной музыкальной премии BraVo и Российской национальной театральной премии «Золотая маска» за работу в спектакле «Триумф Времени и Бесчувствия» (Музыкальный театр имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко). В 2022-м удостоен премии «Золотая маска» за работу дирижера в спектакле «Кармен» Пермского театра оперы и балета. Ранее трижды номинировался на «Золотую маску».
