Фёдор Морозов родился в Москве. Обучался в Московской средней специальной музыкальной школе имени Гнесиных по специальностям «фортепиано» (класс Людмилы Григорьевой) и «орган» (класс Марии Черепановой), Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского (класс органа Константина Волостнова) и ассистентуре-стажировке вуза (класс Любови Шишхановой).
Участвовал в мастер-классах Гуннара Иденстама, Арвида Гаста, Иоганна Труммера, Петера ван Дейка, в летних академиях в Таллине (Эстония) и Дордрехте (Нидерланды).
Лауреат международных органных конкурсов: имени Артура Каппа (Эстония, I премия), «Юный органист» (Москва, II премия), «Гатчина – Санкт-Петербург» (Санкт-Петербург, II премия), имени Л. И. Ройзмана (Москва, III премия), дипломант конкурса «Байкальская токката» (диплом и специальный приз за лучшее исполнение сочинения современного композитора).
Принимал участие в записи первого компакт-диска в МССМШ имени Гнесиных с органной музыкой Мендельсона.