Федор Шагов родился в Москве. Окончил Российскую академию музыки имени Гнесиных (класс Александра Казаченкова) и зальцбургский университет Моцартеум (класс Андреаса Мартина Хофмайера). Участвовал в мастер-классах Мела Калбертсона, Роджера Бобо, Роланда Сентпали, Йенса Бьёрн-Ларсена, Эйстейна Бодсвика, Дэниела Перантони и др.
Обладатель специального приза Международного конкурса исполнителей в Брно (Чехия, 2010), Международного музыкального конкурса в Тревизо (Италия, 2014, I премия), Международного конкурса исполнителей на духовых инструментах в Туре (Франция, 2015; II премия), Международного музыкального конкурса имени Михала Списака в Домброве-Гурниче (Польша, 2015, II премия), Всероссийского открытого конкурса музыкантов-исполнителей на медных духовых и ударных инструментах имени А. А. Нестерова (Нижний Новгород, 2015; I премия), Всероссийского музыкального конкурса (Москва, 2016 и 2020; I премия). В 2019 году завоевал II премию и серебряную медаль на Международном конкурсе имени П. И. Чайковского.
Гастролировал в городах России, Германии, Франции. В числе коллективов, с которыми он сотрудничал, – симфонические оркестры Мариинского театра и Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга, Государственный симфонический оркестр «Новая Россия», Национальный филармонический оркестр России, Большой симфонический оркестр имени П. И. Чайковского, musicAeterna, Тульский филармонический симфонический оркестр, Филармонический оркестр Баден-Бадена.
Выступал с дирижерами Валерием Гергиевым, Теодором Курентзисом, Юрием Башметом, Владиславом Лавриком, Павлом Балеффом, Станиславом Кочановским, Павлом Смелковым, Валерием Платоновым и др.
Постоянный участник Международного музыкального фестиваля медного духового искусства Brass Days, арт-проекта «Музыкальные пейзажи-5» (Нижний Новгород, 2022), I международного музыкального фестиваля «Брасс белых ночей» (Санкт-Петербург). Директор арт-фестиваля «Аура тубы».
Выступает в составе ансамбля «Брасс-солисты России». Основатель (2020) и художественный руководитель брасс-квинтета Moscow Symphony Brass.
Артист компании Buffet Crampon и представитель фирмы – производителя медных духовых инструментов B&S.
Лауреат премии Министерства культуры РФ как лучший преподаватель в сфере музыкального искусства (2022).
