Григорий Вевер родился в 1984 году в Новосибирске. В 2003 году окончил Новосибирский музыкальный колледж имени А. Ф. Мурова, в 2007 году – Новосибирскую государственную консерваторию имени М. И. Глинки по специальности «кларнет», в 2019 году – НГК по специальности «художественное руководство оперно-симфоническим оркестром» (класс профессора Алексея Людмилина).
Лауреат всероссийских и международных конкурсов кларнетистов. В 2004–2007 гг. – артист оркестра musicAeterna под руководством Теодора Курентзиса.
С 2007 года – солист Омского академического симфонического оркестра, с 2016 года – ассистент дирижера ОАСО, с 2017 года – дирижер.
С 2019 года – главный дирижер Омского камерного оркестра.
В 2017–2019 гг. – участник Всероссийских мастер-курсов Юрия Симонова с Академическим симфоническим оркестром Московской филармонии.
С 2021 года преподает в Омском музыкальном училище имени В. Я. Шебалина.
Заслуженный деятель культуры Омской области (2025).
