Генрик Бём родился в Дрездене. Начал заниматься музыкой в 9 лет, в дрезденском Кройц-хоре. Там же, в Дрездене, он учился в Высшей школе музыки «Карл Мария фон Вебер», а затем посещал мастер-классы Элизабет Шварцкопф, Петера Шрайера, Вернера Холльвега и Бригитт Фассбендер.
Генрик Бём — победитель XII Международного конкурса имени Роберта Шумана в Цвиккау (1996), национального конкурса вокалистов в Берлине (1996), обладатель стипендии Немецкого музыкального совета.
В течение ряда лет певец был солистом оперной труппы Государственного театра в Брауншвейге. В его репертуаре главные партии в операх Моцарта: Папагено в «Волшебной флейте», Гильельмо в «Так поступают все», Фигаро и Граф Альмавива в «Свадьбе Фигаро», Дон Жуан; Онегин в опере Чайковского, Арлекин в «Ариадне на Наксосе» Р. Штрауса, Энрико в «Лючии ди Ламмермур» Доницетти, Валентин в «Фаусте» Гуно, Сильвио в «Паяцах» Леонкавалло, Франк и Фриц в «Мертвом городе» Корнгольда, Жорж Жермон в «Травиате» Верди, Шарплес в «Мадам Баттерфляй» Пуччини, Доннер в «Золоте Рейна» и Вестник в «Лоэнгрине» Вагнера, Айзенштайн в «Летучей мыши» И. Штрауса, Данило в «Веселой вдове» Легара и многие другие.
Генрик Бём регулярно выступает в оперных театрах Лейпцига, Ганновера, Дармштадта, Эссена, Магдебурга. Его концертные ангажементы включают выступления на фестивалях в Зальцбурге, Дрездене, Бад Урахе, Мекленбурге, Рейнгау, Midem classique в Каннах, Баховских фестивалях в Лейпциге и Милане, фестивалях Генделя в Галле и Гёттингене.
В последнее время концерты артиста прошли в США, Швеции, Швейцарии, Франции, Израиле, Италии, Испании и Южной Корее.
Певец выступал с Государственной капеллой Саксонии, оркестром Дрезденской филармонии, ансамблем Bach Collegium (Лейпциг), «Академией старинной музыки» и камерным хором RIAS (Берлин), хором Баварского радио (Мюнхен), дрезденским Кройц-хором, Национальным симфоническим оркестром и Национальным хором Кореи. Он сотрудничал с такими дирижерами, как Петер Шрайер, Джулия Джонс, Фридрих Хайдер, Даниэль Каллегари, Филипп Оген, Александр Жоэль, Хельмут Риллинг, Лоранс Экилбэ, Карл Рэй Сент-Клер и Ханс-Кристоф Радеманн.
Значительную часть творческой деятельности певца составляют исполнения сольных партий в произведениях кантатно-ораториального жанра и сольные камерные концерты в дуэте с пианистами Филиппом Моллем, Юстусом Зейеном, Александром Шмальцем, Хендриком Бройнлихом и Жаном-Филиппом Шульце. В частности, Бём дал концерты в рамках «Шубертовского цикла» в Дортмунде и в фонд реконструкции Фрауенкирхе в Дрездене.
Генрик Бём — основатель и художественный руководитель серии сольных концертов немецкой вокальной музыки в своем родном городе — ''Das Lied in Dresden''.
Многочисленные выступления на радио Германии, Франции и других стран принесли певцу широкую известность в Европе. Обширна и его дискография, включающая первую в истории запись Симфонии № 10 Вила-Лобоса под управлением Карла Рэя Сент-Клера (на лейбле СРО), оперу «Экгард» немецкого композитора XIX века Иоганна Йозефа Аберта (на Capriccio), записи песен Георга Гёлера, получившие благожелательные отзывы критики и прессы.
Генрик Бём — профессор Высшей школы музыки и театра в Ганновере.
