Игорь Бобович в 1999 году окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского, где обучался у профессоров Валентина Фейгина и Эрнеста Поздеева, посещал уроки профессора Наталии Гутман.
В 2000–2006 гг. продолжил обучение в Высшей школе музыки и театра в Ганновере (Германия), где его наставниками были профессора Клаус Хайтц (виолончель) и Хатто Байерле (камерный ансамбль). Посещал уроки Цви Меникера (исторические клавишные инструменты), Йоханнеса Шёлльхорна (современная музыка), участвовал в мастер-классах Бориса Пергаменщикова, Юлиуса Бергера, Вольфганга Бёттхера.
С 2020 года обучается на кафедре оперно-симфонического дирижирования Санкт-Петербургской государственной консерватории имени Н. А. Римского-Корсакова (класс профессора Владимира Альтшулера); посещает мастер-классы профессора Сабрие Бекировой.
Лауреат Европейского конкурса виолончелистов в Мальяно-Сабина (Италия), международных конкурсов старинной музыки в Гааге (Нидерланды), камерной музыки в Кальтаниссетте (Италия), имени Марии Канальс в Барселоне (Испания), имени И. С. Баха в Лейпциге (Германия), Pacem in Terris в Байройте (Германия), дуэтов в Kатринехольме (Швеция).
В 2000–2001 гг. проходил практику в Филармоническом оркестре Северогерманского радио (Ганновер). В 2008–2011 гг. – концертмейстер группы виолончелей Госоркестра России имени Е. Ф. Светланова. В 2011–2019 гг. – концертмейстер группы виолончелей оркестра musicAeterna под управлением Теодора Курентзиса.
С 2016 года – участник ансамбля барочной музыки La voce strumentale (ныне оркестр Нижегородского театра оперы и балета имени А. С. Пушкина) под управлением Дмитрия Синьковского; с 2022 года – концертмейстер группы виолончелей.
С 2018 года преподает в Московской консерватории, проводит мастер-классы в России и за рубежом.
В качестве дирижера сотрудничал с Ростовским академическим симфоническим оркестром, оркестром Пермского театра оперы и балета имени П. И. Чайковского, оркестром La voce strumentale. Принимал участие в проектах европейских коллективов, специализирующихся на исторически информированном исполнительстве, в числе которых Concerto Köln, Le Poème Harmonique, Ensemble 1700.
