Игорь Иванушкин родился в 1964 году в Челябинске. Окончил Российскую академию музыки имени Гнесиных (1994, класс Анатолия Соболева). Дебютировал в ансамбле Александра Сухих. Известность к музыканту пришла, когда он стал выступать в составе квинтета «Игорь Бриль и новое поколение» (1993–1998). С 1997 года играл в дуэте с пианистом и композитором Андреем Разиным, с 1998-го – в его трио современной джазовой музыки «Второе приближение».
Лауреат XIII Всемирного фестиваля молодежи и студентов (Пхеньян, 1989), I Всероссийского конкурса молодых джазовых исполнителей (Ростов-на-Дону, 1991), международного конкурса «Молодые джазовые музыканты мира» (Бухарест, 1997, Гран-при), джазового конкурса в Брюсселе (1998). Участник престижных джазовых фестивалей.
В числе его коллег по джазовой сцене – Владимир Чекасин, Алексей Козлов, Владимир Тарасов, Игорь Широков, Олег Киреев, Алексей Кузнецов, Алексей Круглов, Клаус Кугель, Майк Эллис, Розуэлл Радд, Бирели Лагрен, Стохело Розенберг, Андреас Оберг, Дидье Локвуд, Шерон Кларк.
В настоящее время Игорь Иванушкин – постоянный участник трио Фредерика Белинского, группы Аркадия Шилклопера, трио Олега Бутмана, а также ансамбля, сопровождающего авторские концерты Сергея Никитина. Выступает в ансамблях Анны Королёвой, Алины Ростоцкой, Антона Котикова, в трио «Столичное» и во многих других проектах.