Иван Бессонов родился в 2002 году в Санкт-Петербурге. С шести лет начал играть на фортепиано. В настоящее время обучается в Центральной музыкальной школе при Московской консерватории (класс профессора Валерия Пясецкого).
Победитель Международного юношеского конкурса имени Фридерика Шопена (2015, Санкт-Петербург, Гран-при), Международного конкурса имени Антона Рубинштейна «Фортепианная миниатюра в русской музыке» (2016, Санкт-Петербург), конкурса Правительства Санкт-Петербурга «Юные дарования» (2016), Международного конкурса Astana Piano Passion (2017), конкурса «Молодые дарования России» (2017). Дважды лауреат Международного конкурса Grand Piano Competition (2016, 2018).
В 2015 году Иван Бессонов дебютировал как композитор, сочинив музыку к документальному фильму Varicella Виктора Косаковского, премьера которого состоялась на Международном кинофестивале «Послание к человеку» в Санкт-Петербурге.
Участвовал во многих фестивалях и концертах в России и за рубежом (в частности, в проекте Дениса Мацуева «Игры в джаз» на сцене Государственного Кремлевского дворца), выступал с Симфоническим оркестром Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга, Государственным симфоническим оркестром Республики Татарстан, Государственным симфоническим оркестром «Новая Россия», Уральским молодежным симфоническим оркестром; играл под управлением таких знаменитых дирижеров, как Валерий Гергиев, Владимир Федосеев, Александр Сладковский, Владислав Чернушенко. Летом и осенью 2016 года гастролировал по городам России, в декабре того же года дал сольный концерт в Зале Прокофьева в Мариинском театре. В камерных программах выступает со своими братьями – скрипачами Никитой и Даниилом.
В 2018 году Иван Бессонов стал победителем телевизионного конкурса «Синяя птица», организованного каналом «Россия-1», и XIX Международного конкурса молодых музыкантов Евровидения (Eurovision Young Musicians) в Эдинбурге. Осенью того же года по приглашению Владимира Спивакова принял участие в большом европейском турне Национального филармонического оркестра России. В 2019 году гастролировал с НФОР в Мадриде, Ташкенте, Оренбурге, Уфе, Тюмени, Мурманске; выступил с оркестром под управлением Владимира Спивакова в концерте, посвященном 80-летию ректора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Виктора Садовничего в Актовом зале МГУ; в феврале 2020 года – в концерте памяти Анатолия Собчака в Большом зале Санкт-Петербургской филармонии имени Д. Д. Шостаковича. В этом же зале в 2019 и 2020 гг. выступал в новогодних концертах 1 января (сольно и с оркестром).
Осенью 2019 года Иван Бессонов дал серию сольных концертов в филармониях центральных городов Урала и Поволжья, а также с большим успехом выступил в Вене, Париже и Мюнхене. В том же году выпустил под лейблом Ars Production дебютный сольный альбом с музыкой Шопена и собственными композициями.
Удостоен международной музыкальной премии BraVo в номинации «Открытие года» (2019).
