Клаус Хегер родился в немецком городе Вупперталь,
где получил первоначальное музыкальное образование — учился играть на
виолончели, фортепиано и органе. Уже в школьные годы он выступал как органист,
руководил ученическим хором и оркестром. Профессиональное образование получил в
консерваториях Кёльна и Фрайбурга, где обучался вокалу у педагогов Франца
Мюллер-Хойзе, Ингеборга Моста и Юргена Глауса. Посещал мастер-классы Зена
Юннак, Эрнста Хеффлигера и Дитриха Фишер-Дискау. Будучи студентом, выступал в
камерных и оркестровых программах, участвовал в исполнении многих
кантатно-ораториальных произведений в Германии и за ее пределами.
Клаус Хегер — лауреат многих вокальных конкурсов, в т. ч. международного конкурса имени Мирьям Хелин в Хельсинки (1989), имени Моцарта в Венеции-Праге-Вене, Всегерманского вокального конкурса в Берлине (1990, I премия), награжден призом «Обердёрфер» в Гамбурге (1992). Обладатель стипендии Президента Германии и Мемориального фонда Вальтера Каминского.
Участник фестивалей в Зальцбурге, Людвигсбурге и Шлезвиг-Гольштейне, Оперного фестиваля в Шветцингене, Голландского фестиваля, «Недели Баха» в Ансбахе и других.
С 1991 по 1997 гг. был солистом Гамбургской государственной оперы, с 1997 по 2003 гг. — солистом Берлинской государственной оперы. Оперные партии, спетые артистом, свидетельствуют о его универсализме, позволяющем исполнять как старинную, так и современную музыку. Это — «Альцеста» Глюка (Геркулес), «Клеопатра и Цезарь» К. Грауна (Ахулла), «Волшебная флейта» Моцарта (Папагено) и «Лулу» Берга (Слуга). В 2002 году он дебютировал на Байрейтском фестивале в опере «Нюрнбергские майстерзингеры» Р. Вагнера (дирижер Кристиан Тилеманн).
В концертных программах Клаус Хегер выступал с ведущими европейскими оркестрами: Венским и Пражским филармоническими, амстердамским Консертгебау, филармоническим оркестром Ла Скала, симфоническими оркестрами Северонемецкого радио (Гамбург) и Баварского радио, оркестрами Кёльна, Штутгарта, Франкфурта, Лейпцига. Сотрудничал с такими известными дирижерами, как Даниэль Баренбойм, Кент Нагано, Герд Альбрехт, Пьер Булез, Михаэль Гилен, Рене Якобс, Филипп Херревеге, Гельмут Риллинг, Кристоф Перик и многими другими.
Выступления певца записаны на компакт-дисках, радио и телевидении Германии. Среди его дискографии: «Рождественская оратория» Баха с Берлинской Академией старинной музыки (дир. Рене Якобс), «Коронационная месса» Моцарта (дир. Гельмут Риллинг).
В 2004 году К. Хегер приглашен на должность профессора в Высшую школу музыки и театра в Ростоке.