Константин Бржинский родился в Саранске. Окончил вокальный факультет Казанской государственной консерватории имени Назиба Жиганова. Лауреат международных конкурсов имени Бориса Христова в Софии, «Надежды, таланты, мастера» в Добриче (Болгария) и имени Бюль-Бюля в Баку.
В 2006–2009 годах обучался в Центре оперного пения Галины Вишневской, где исполнял ведущие партии в операх «Евгений Онегин» и «Иоланта» Чайковского, «Царская невеста» Римского-Корсакова, «Кармен» Бизе, «Фауст» Гуно и других. Принимал участие в проекте «Неизвестный Шостакович» в рамках Года России – Франции (2010, опера «Игроки» в Париже, Безансоне, Москве и Перми в сопровождении Симфонического оркестра Парижской консерватории). Выступал в спектакле «Евгений Онегин», приуроченном к 85-летию Галины Вишневской, на сцене театра Пьера Кардена в Париже (2011). Совершенствовался на мастер-классах Денниса О’Нила, Александрины Милчевой, Томаса Хэмпсона, Мауро Тромбетты, Шерила Милнза, Бадри Майсурадзе, Юджина Кона, Михаила Юровского.
С 2011 года – солист Московского музыкального театра «Геликон-опера», где в его репертуар вошли партии Онегина, Елецкого и Роберта («Евгений Онегин», «Пиковая дама» и «Иоланта» Чайковского), Грязного, Веденецкого гостя и Царевича Афрона («Царская невеста», «Садко» и «Золотой петушок» Римского-Корсакова), Фигаро («Севильский цирюльник» Россини), Форда и Ренато («Фальстаф» и «Бал-маскарад» Верди), Сильвио («Паяцы» Леонкавалло), Глебова («Сибирь» Джордано), Эскамильо («Кармен» Бизе), Чаадского («Чаадский» Маноцкова), Фалька («Летучая мышь» И. Штрауса) и другие.
Принимал участие в фестивалях «Белая сирень» имени Рахманинова в Казани, Всероссийском Пушкинском театральном фестивале во Пскове, «Русская музыка на Балтике» в Калининграде, Мстислава Ростроповича в Москве и Баку, «Сергей Рахманинов и украинская культура» в Харькове, Юрия Башмета в Минске, Летнем фестивале в Варне (Болгария), Classic Open Air в Берлине, «Дни Российской культуры» в Баден-Бадене (Германия), русской культуры в ЮАР и других. Участвовал в постановках опер «Борис Годунов» Мусоргского в Валлонской Королевской опере в Льеже (Бельгия) и на фестивале в Сантандере (Испания), «Нос» Шостаковича в Лионской национальной опере и на фестивале в Экс-ан-Провансе (Франция), «Фауст» Гуно в Румынской национальной опере в Бухаресте и «Евгений Онегин» Чайковского в Самарском академическом театре оперы и балета, «Колокольчик» Доницетти на сцене Государственного Большого концертного зала имени Салиха Сайдашева в Казани.
Сотрудничал с Государственным симфоническим оркестром «Новая Россия», Государственным симфоническим оркестром Республики Татарстан, Академическим симфоническим оркестром Нижегородской филармонии и другими коллективами. Участвовал в концертном исполнении оперы «Кармен» в Зале Чайковского с Российским национальным оркестром под управлением Михаила Плетнёва.