Константин Мошкин окончил Воронежский музыкальный колледж имени Ростроповичей (класс Александры Тырзыу) и Российскую академию музыки имени Гнесиных (класс профессора Леонида Бомштейна). Участвовал в международных программах РАМ, в рамках которых гастролировал и стажировался в Испании и Словакии.
Лауреат XIV Международного студенческого конкурса вокалистов Bella voce (2010), VII Международного конкурса вокалистов имени Наталии Шпиллер «Шедевры русской музыки» (2020, I премия).
В 2012–2014 гг. обучался в Международной музыкальной академии Concertante Barcelona под руководством Рауля Хименеса. В 2014 году был принят в молодежную программу Польской национальной оперы – Большого театра в Варшаве, где совершенствовался под руководством Изабеллы Клосинской и Эйтана Пессена. В 2014–2015 гг. принимал участие в фестивале ArsMusica (Сувалки, Польша), где выступил в операх «Евгений Онегин» Чайковского (Ленский), «Дон Жуан» и «Волшебная флейта» Моцарта (Дон Оттавио и Тамино).
В 2013–2018 гг. участвовал в мастер-классах профессора Музыкальной академии имени Кароля Липинского во Вроцлаве Богдана Макаля и по его приглашению неоднократно выступал в дуэте с пианисткой Мариной Белашук на вокальном фестивале в г. Душники-Здруй.
В 2017 году совершенствовался под руководством прославленного российского баса Александра Ведерникова.
В 2020–2022 гг. – солист Нижегородского государственного академического театра оперы и балета имени А. С. Пушкина. С 2016 года – солист оркестра Культурного центра ГУ МВД России по г. Москве. С 2023 года – преподаватель РАМ имени Гнесиных.
В репертуаре певца – Ленский, Водемон («Евгений Онегин» и «Иоланта» Чайковского), Владимир Игоревич («Князь Игорь» Бородина), Дон Оттавио, Тамино («Дон Жуан» и «Волшебная флейта» Моцарта), Пинкертон, Каварадосси («Мадам Баттерфляй» и «Тоска» Пуччини), вокально-симфонические и кантатно-ораториальные произведения Бетховена, Россини, Свиридова, Скрябина, Рахманинова и др.