Константин Шушаков окончил Российский институт театрального искусства (2009, факультет музыкального театра, курс Георгия Ансимова, класс вокала Юрия Удалова). В 2011 году стал лауреатом Международного конкурса королевы Елизаветы в Брюсселе (V премия и специальный приз) и Международного конкурса вокалистов «Опералия» Пласидо Доминго в Москве (II премия). Ранее удостаивался специальных призов на конкурсах имени Павла Лисициана в Москве и имени Н. А. Римского-Корсакова в Санкт-Петербурге.
В 2009–2011 годах – артист Молодежной оперной программы Большого театра России, в 2012–2019 годах – солист труппы. В настоящее время сотрудничает с театром как приглашенный солист.
В репертуаре Константина Шушакова – партии Дон Жуана, Папагено, Гульельмо и Графа Альмавивы («Дон Жуан»,«Волшебная флейта», «Так поступают все женщины» и «Свадьба Фигаро» Моцарта), Фигаро и Дона Альваро («Севильский цирюльник» и «Путешествие в Реймс» Россини), Марселя и Шонара («Богема» Пуччини), Зурги («Искатели жемчуга» Бизе), Валентина («Фауст» Гуно), Доктора Малатесты («Дон Паскуале» Доницетти), Форда («Фальстаф» Верди), Онегина, Елецкого и Роберта («Евгений Онегин», «Пиковая дама» и «Иоланта» Чайковского), Царевича Афрона («Золотой петушок» Римского-Корсакова), Панталона («Любовь к трем апельсинам» Прокофьева), Лебедева («Идиот» Вайнберга) и другие.
Принимал участие в постановках театра Ла Скала, Королевского театра де ла Монне в Брюсселе, Большого театра Женевы, Норвежской национальной оперы, Оперы Руана (Франция), Словенского национального театра в Мариборе, Оперы Ванкувера (Канада), Муниципального театра Cан-Паулу (Бразилия), спектаклях и концертах Пермского театра оперы и балета. Выступал в операх «Сказки Гофмана» Оффенбаха, «Ромео и Джульетта» Гуно, «Мария Стюарт», «Анна Болейн» и «Роберто Деверё» Доницетти на сцене Концертного зала имени П. И. Чайковского.
С 2019 года – солист Цюрихской оперы.
Сотрудничал с известными дирижерами и режиссерами, среди которых Василий Синайский, Михаил Плетнёв, Александр Рудин, Теодор Курентзис, Даниэль Баренбойм, Джанандреа Нозеда, Кристофер Мулдс, Ален Альтиноглу, Лоран Кампеллоне, Антонелло Аллеманди, Кирилл Карабиц, Бенжамин Пьоннье, Клаус Гут, Барри Коски, Лоран Пелли.
В концертном репертуаре певца – партии в Большой мессе до минор Моцарта, оратории «Времена года» Гайдна, Немецком реквиеме Брамса, Реквиеме Форе и другие.
