Константин Сучков родился в 1989 году в Туле. Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского и ассистентуру-стажировку МГК (класс профессора Петра Скусниченко). Во время обучения стажировался в Академии фестиваля «Флорентийский музыкальный май» во Флорентийской опере (Италия). Победитель международных вокальных конкурсов имени М. И. Глинки в Казани, имени Бориса Штоколова, имени Георга Отса в Санкт-Петербурге и Всероссийского музыкального конкурса в Москве, лауреат конкурсов Галины Вишневской в Москве и Рождественского конкурса в Минске.
В 2015–2016 гг. – артист Молодежной оперной программы Большого театра России, в 2016–2022 гг. – приглашенный солист театра. С 2022 года – солист Камерной сцены имени Б. А. Покровского Большого театра.
С сезона 2017/18 – солист Пермского академического театра оперы и балета имени П. И. Чайковского. В 2019–2021 гг. – солист Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова. С 2022 года – солист Нижегородского государственного академического театра оперы и балета имени А. С. Пушкина.
В репертуаре артиста – около 30 ведущих партий, в том числе Евгений Онегин, Томский и Роберт («Евгений Онегин», «Пиковая дама» и «Иоланта» Чайковского), Зурга и Эскамильо («Искатели жемчуга» и «Кармен» Бизе), Марсель и Шарплес («Богема» и «Мадам Баттерфляй» Пуччини), Жорж Жермон («Травиата» Верди), Дон Жуан, Гульельмо и Граф Альмавива («Дон Жуан», «Так поступают все женщины» и «Свадьба Фигаро» Моцарта), Фигаро («Севильский цирюльник» Россини), Лорд Генри Аштон, Малатеста и Антонио Люстало («Лючия ди Ламмермур», «Дон Паскуале» и «Линда ди Шамуни» Доницетти), Валентин («Фауст» Гуно), Леандр и Панталон («Любовь к трем апельсинам» Прокофьева), Второй помощник («Билли Бадд» Бриттена), Лебедев («Идиот» Вайнберга).
Сотрудничал со многими известными дирижерами и режиссерами, среди которых Геннадий Рождественский, Теодор Курентзис, Игорь Дронов, Туган Сохиев, Михал Клауза, Артём Абашев, Уильям Лейси, Джонатан Блоксам, Антон Гришанин, Пётр Белякин, Валентин Урюпин, Анатолий Левин, Дмитрий Волосников, Андрей Лебедев, Михаил Татарников, Дмитрий Синьковский, Константин Чудовский, Игорь Ушаков, Филипп Химмельман, Тимофей Кулябин, Дэвид Олден, Евгений Арье, Константинос Контокристос, Маттиас Ремус, Владиславс Наставшевс, Марат Гацалов, Филипп Григорьян, Константин Богомолов, Василий Бархатов.
Трижды номинировался на Российскую национальную театральную премию «Золотая маска» в категории «лучшая мужская роль в опере»: за исполнение вокальной партии в спектакле «Закрой мне глаза» (2020, Пермский театр оперы и балета), партии Зурги (2022, «Искатели жемчуга» Бизе, Большой театр России) и Онегина (2023, «Евгений Онегин» Чайковского, Пермский театр оперы и балета).
Гастролировал в Австрии, Германии, Италии, Польше, Швейцарии, Грузии, Китае, Японии. В 2021 году исполнял партию Малатесты («Дон Паскуале» Доницетти) на оперном фестивале в Глайндборне (Великобритания). В мае 2023 года спел партию баритона в симфонии-кантате «Песнь о земле» Малера в «ГЭС-2» (дирижер – Фёдор Леднёв).
