Алексей Кудря родился в Москве в семье профессиональных музыкантов. С отличием окончил Московскую средне-специальную музыкальную школу им. Гнесиных. В 2004 году окончил оркестровый факультет Российской академии музыки им. Гнесиных по классу флейты и симфонического дирижирования, и одновременно Музыкальное училище им. С.С.Прокофьева по классу академического вокала. В 2006 году окончил аспирантуру РАМ им. Гнесиных.
Учился в Центре оперного пения Галины Вишневской (2005-2006), в 2008 году – в Россиниевской Академии молодых певцов у маэстро Дзедда.
В 2004-2006 годах Алексей Кудря являлся солистом Московского академического Музыкального театра им. К.С.Станиславского и Вл.И. Немировича-Данченко, где исполнял партии Принца Гвидона («Сказка о царе Салтане» Н.А.Римского-Корсакова), Неморино («Любовный напиток» Г.Доницетти) и Феррандо («Так поступают все женщины» В.А.Моцарта). В составе МТО «Виртуозы России» гастролировал в Великобритании и Южной Корее, выступал во многих городах России и ближнего зарубежья.
В качестве солиста-флейтиста Алексей Кудря выступал с оркестром Государственной капеллы им. М.И.Глинки (Санкт-Петербург), Государственным симфоническим оркестром под управлением В.Понькина, Государственным симфоническим оркестром Ульяновской филармонии, камерными оркестрами «Кантус Фирмус», «Musica Viva» и другими.
Как вокалист Алексей Кудря участвовал в официальных концертах чемпионата мира по футболу 2006 года в Германии. С партией Феррандо участвовал в концертных представлениях, приуроченных к 250-летнему юбилею В.А.Моцарта в проекте под управлением Т. Курентзиса в Новосибирске и Москве.
В конце 2006 года Алексей Кудря дебютировал в Европе с партией Неморино (Австрия), затем исполнял партию лорда Артуро («Лючия ди Ламмермур» Г.Доницетти) в Бонне. На протяжении 2007-2008 годов Алексей Кудря выступал в партии Аристофана в опере Г.Ф.Телемана «Терпеливый Сократ» под управлением Р.Якобса на фестивале старинной музыки в Инсбруке, а также в Берлинской государственной опере, Гамбурге и Париже; Ленского («Евгений Онегин» П.И.Чайковского) в Любеке (Германия); Лыкова («Царская невеста» Н.А.Римского-Корсакова) во Франкфуртской государственной опере; графа Альмавивы («Севильский цирюльник» Дж. Россини) в Берне (Швейцария), Эрнесто («Дон Паскуале» Г. Доницетти) в Монте-Карло; графа Либенскофа («Путешествие в Реймс» Дж. Россини) на Россиниевском оперном фестивале в Пезаро (Италия), а также театрах городов Реймс, Виши и Авиньон.
В 2009-2010 годах певец исполнял партии: Граф Либенскоф в театрах городов Монпелье, Клермон-Ферран, Метц, Нант, Сент-Этьен, Тулуза, Бордо и Марсель во Франции; Феррандо в Баварской государственно опере, в Антверпене и Генте в Бельгии; Неморино в Берне (Швейцария) и в Бари (Италия); Эрнесто под руководством маэстро Риккардо Мути в Кельнской филармонии; Альмавива в Пальма де Майорка (Испания).
Алексей Кудря сотрудничает с Московской государственной академической филармонией, Московской государственной консерваторией, Большим симфоническим оркестром им. П.И. Чайковского под управлением Владимира Федосеева, театром им. К.С. Станиславского и Вл.И.Немировича-Данченко в Москве и Михайловским театром Санкт-Петербурга.
Будущие ангажементы певца включают партии: Оттавио («Дон Жуан» Моцарта) на фестивале в Ла-Корунье (Испания) и в Марселе (Франция); Дон Рамиро («Золушка» Россини) в Реймсе (Франция) и Венской государственной опере; Принц Тамино («Волшебная флейта» Моцарта) в Австрии, Граф Альмавива в Метрополитен Опера (Нью-Йорк), в Венской государственной опере и в Генуе; Артуро («Пуритане» В. Беллини) и Итальянский певец («Кавалер розы» Р.Штрауса) в Большом театре Женевы. Также Алексей Кудря получил ангажементы от оперных театров Вашингтона, Тулона, Антверпена, Лондона, Сантьяго-де-Чили.