Максим Кузьмин-Караваев родился в Москве. По окончании Московской консерватории (2004) совершенствовал мастерство в Центре оперного пения Галины Вишневской (2006–2008). Был награжден III премией и двумя специальными призами Международного конкурса вокалистов имени М. И. Глинки (Москва, 2009).
С 2007 по 2015 год М. Кузьмин-Караваев был солистом Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова. С 2013 года – приглашенный солист Большого театра России.
В репертуаре певца – партии в операх «Служанка-госпожа» Перголези (Уберто), «Свадьба Фигаро» Моцарта (Фигаро), «Севильский цирюльник» Россини (Дон Базилио), в операх Доницетти – «Лукреция Борджиа» (Дон Альфонсо) и «Лючия ди Ламмермур» (Раймонд), Верди – «Риголетто» (Монтероне, Спарафучиле), «Аида» (Рамфис), «Макбет» (Банко), «Трубадур» (Феррандо), операх «Сомнамбула» Беллини (Родольфо), «Фауст» Гуно (Мефистофель), «Тристан и Изольда» Вагнера (Король Марк), «Иоланта» Чайковского (Король Рене), «Евгений Онегин» Чайковского (Гремин), «Руслан и Людмила» Глинки (Фарлаф), «Борис Годунов» Мусоргского (Пимен), «Князь Игорь» Бородина (Князь Игорь) и других спектаклях, а также партии баса в «Рождественской оратории», «Страстях по Матфею» и Мессе си минор Баха, “Stabat Mater” и «Нельсон-мессе» Гайдна, “Stabat Mater” и «Маленькой торжественной мессе» Россини, Реквиемах Моцарта, Верди, Шумана, Форе. Артист активно концертирует, исполняя произведения Глинки, Даргомыжского, Бородина, Балакирева, Мусоргского, Римского-Корсакова, Кюи, Рахманинова, Чайковского, Шостаковича, Свиридова, Шуберта, Шумана, Беллини, Доницетти, Верди. В 2006 году принимал участие в художественно-просветительской программе «Новое передвижничество». В числе знаковых проектов – партии Калхаса в опере Глюка «Ифигения в Авлиде» в Римской опере под управлением Риккардо Мути (2009), Агамемнона в американской премьере «Орестеи» Танеева на сцене Центра исполнительских искусств имени Р. Фишера в Нью-Йорке (2013).
В 2015 году М. Кузьмин-Караваев выступил в партии Бартоло в постановке оперы «Свадьба Фигаро» в Большом театре, а затем принял участие в концертном исполнении этой оперы труппой театра в Тромсе (Норвегия). Выступал в концертах в Бетховенском зале ГАБТа.
В том же году спел партию баса в спектакле «Dona nobis pacem (Даруй нам мир)» на музыку Мессы си минор И. С. Баха в постановке Владимира Васильева в исполнении Татарского академического государственного театра оперы и балета имени М. Джалиля – в Казани и на Исторической сцене ГАБТа.
Максим Кузьмин-Караваев гастролировал в Италии, Австрии, Германии, Бельгии, Франции, Норвегии, Болгарии, Испании, Венгрии, Турции, Объединенных Арабских Эмиратах, США, Канаде, Аргентине, Чили, много концертировал по городам России (Москва, Санкт-Петербург, Иркутск, Кострома, Рязань, Калининград, Севастополь, Ялта, Муром). В числе столичных площадок, где проходили его выступления, – Концертный зал имени П. И. Чайковского, Оперный дом в Царицыно, залы Московской консерватории и Московского международного дома музыки.
Он принимал участие в спектаклях Королевской оперы Валлонии в Льеже (Бельгия), Лионской национальной оперы (Франция), Большого театра Женевы (Швейцария), Баварской государственной оперы и Баварского государственного театра на Гертнерплац в Мюнхене (Германия), Капитолия Тулузы (Франция), Национального театра имени М. Чоконаи-Витеза в Дебрецене (Венгрия), Театра Колон в Буэнос-Айресе (Аргентина), Муниципального театра Сантьяго-де-Чили (Чили); пел на фестивалях «Опера Искьи» (Италия, 2007), Летнем фестивале на острове Маргит в Будапеште (Венгрия, 2010), Сантандерском международном фестивале (Испания, 2010).
Певец постоянно сотрудничает с Государственной академической симфонической капеллой России под управлением Валерия Полянского, с Государственным симфоническим оркестром «Новая Россия» под руководством Юрия Башмета, Российским национальным оркестром под управлением Михаила Плетнёва, Московским ансамблем духовной музыки «Благовест» под руководством Галины Кольцовой и оркестром Musica Viva под руководством Александра Рудина.