Максим Рубцов родился в 1977 году в Брянске. Окончил Московский государственный музыкальный колледж имени Гнесиных (класс Николая Кондрашова), Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского и ассистентуру-стажировку МГК (класс профессора Юрия Должикова).
С 1999 года – артист Российского национального оркестра, с 2003 года – концертмейстер группы флейт. Руководитель и один из основателей Духового квинтета РНО, удостоенного Гран-при V Международного конкурса в Осаке (Япония).
В составе РНО записал множество сольных партий на дисках оркестра, выпущенных под лейблами Deutsche Grammophon и PentaTone Classics. В 2011 году выпустил сольный альбом Russian Romance под лейблом Blue Griffin Recording.
В декабре 2003 года исполнил партию сольной флейты на премьере концерта-фантазии «Повелитель крыс» для флейты с оркестром Джона Корильяно. Двумя годами позднее участвовал в постановке «Повелителя крыс» в Мурсии (Испания). В 2014 году представил собственную версию «Повелителя крыс» при участии 38 юных флейтистов и Омского симфонического оркестра.
Выступал в качестве солиста с известными российскими коллективами; как флейтист в резиденции сотрудничал с Симфоническим оркестром Сан-Франциско (2002). Работал со знаменитыми дирижерами – Майклом Тилсоном Томасом, Владимиром Юровским, Теодором Курентзисом и другими.
Активно гастролирует по России и за рубежом. Выступал в ансамбле с Михаилом Плетнёвым, Денисом Мацуевым, Валентиной Лисицей, джазовым Квартетом братьев Брубек, Джошуа Беллом,Памелой Пеник, Ирит Рап и другими известными музыкантами. В дуэте с пианистом Сергеем Квитко гастролировал по США и принимал участие в мероприятиях Национальной флейтовой ассоциации Америки (2011). С певицей Лизой Делан в 2012 году выступил на фестивале Napa Valley Festival del Sole в Калифорнии и записал сочинение Джона Корильяно на студии Джорджа Лукаса Skywalker Sound.
В 2013 году участвовал в премьерах детского мюзикла «Кошки Эрмитажа» Криса Брубека в США и России.
Ведет преподавательскую деятельность в различных образовательных учреждениях США, Великобритании, Китая, Бразилии, Израиля, Сингапура, ОАЭ и России. В 2015 году выступил инициатором организации Международной флейтовой школы в Гуанчжоу (Китай).
С 2018 года – артист компании Yamaha. В 2020 году удостоен почетного звания «Заслуженный артист Российской Федерации».
