Мартин Адамек родился в 1996 году в Словакии. Обучался в Братиславской консерватории и Академии музыки имени Леоша Яначека в Брно. В 2013 году одержал победу на конкурсе кларнетистов в Карлино (Италия), в 2014 году – на Международном конкурсе имени Леоша Яначека в Чехии. Посещал мастер-классы Чарльза Найдика, Иегуды Гилада, Харри Мяки, Филиппа Берро и других известных кларнетистов.
Мартин Адамек активно выступает с сольными концертами, а также в составе камерных ансамблей и оркестров в странах Европы, Северной Америки и Азии. В статусе первого кларнетиста в составе Молодежного оркестра имени Густава Малера выступал в амстердамском зале Консертгебау, лондонском Альберт-холле, венском Музикферайне, берлинском Концертхаусе и др. Играл с оркестрами под управлением Филиппа Джордана, Кристофа Эшенбаха, Джонатана Нотта, Маттиаса Пинчера, Петера Этвёша, Андре де Риддера, Тьерри Фишера, Жолта Надя и других дирижеров. В 2017 году в сопровождении ансамбля Академии Люцернского фестиваля под управлением Маттиаса Пинчера впервые в Швейцарии исполнил Концерт для кларнета с оркестром «Гистерезис» Мишеля ван дер Аа.
С 2016 года Мартин Адамек – солист Ensemble intercontemporain, основанного в 1976 году Пьером Булезом. В 2016 году совместно с пианисткой Зузаной Бищаковой и сопрано Нао Хикаго основал трио Sen Tegmento, которое исполняет преимущественно современную музыку и регулярно заказывает произведения у композиторов из Словакии и других стран. Кроме того, Мартин Адамек является одним из основателей и ведущих артистов Камерного оркестра имени Альмы Малер, в репертуар которого входят переложения симфонических произведений XIX и XX веков, а также оригинальные сочинения для камерных оркестров и ансамблей разных эпох и стилей.
Мартин Адамек принимал участие во многих международных и национальных фестивалях, в числе которых BBC Proms в Лондоне, Зальцбургский, Берлинский и Люцернский фестивали, Биеннале Пьера Булеза, Young Euro Classic, Загребская музыкальная биеннале, Musica Nova (Хельсинки), «Пражская музыкальная весна», Viva Musica!, Ars Nova и другие.