Михаил Пирогов окончил Музыкальное училище (в настоящее время – Колледж искусств) имени П. И. Чайковского в Улан-Удэ (2003), затем обучался в Санкт-Петербургской государственной консерватории имени Н. А. Римского-Корсакова (класс доцента Юрия Марусина).
В 2010–2011 гг. и 2014–2018 гг. – солист Бурятского государственного академического театра оперы и балета имени Г. Ц. Цыдынжапова. В 2011–2014 гг. – солист Саратовского академического театра оперы и балета. С 2018 года – солист Красноярского государственного театра оперы и балета имени Д. А. Хворостовского. С 2021 года – солист Новосибирского государственного академического театра оперы и балета. С 2023 года – солист Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова. Приглашенный солист Государственного академического Большого театра России, где дебютировал в 2022 году в партии Водемона («Иоланта» Чайковского).
Обладатель Гран-при III Международного конкурса молодых оперных певцов и режиссеров имени П. И. Словцова в Красноярске (2015), Гран-при V Международного конкурса вокалистов имени Кима Базарсадаева (2017), дипломант и обладатель специальных призов Международного конкурса теноров Фонда Елены Образцовой «Хосе Каррерас Гран-при» (2018).
Удостоен почетного звания «Лидер культуры Республики Бурятия – 2016», медали «За заслуги перед Республикой Бурятией» (2017), почетного звания «Заслуженный артист Республики Бурятия» (2018), Государственной премии Республики Бурятия (2019).
Обладатель диплома Национальной оперной премии «Онегин» в номинации «Мастер сцены» за роль Манрико в опере «Трубадур» Верди (2018), лауреат народной театральной премии «Зрительское признание» (Красноярск, 2019). Лауреат Российской национальной театральной премии «Золотая маска» за роль Соловья Будимировича в спектакле «Богатыри» Красноярского театра оперы и балета (2022).
В репертуаре певца – Каварадосси, Пинкертон, Калаф («Тоска», «Мадам Баттерфляй», «Турандот» Пуччини), Хозе («Кармен» Бизе), Манрико, Король Густав, Радамес («Трубадур», «Бал-маскарад», «Аида» Верди), Риенци в одноименной опере Вагнера, Герман и Водемон («Пиковая дама» и «Иоланта» Чайковского), Владимир Игоревич («Князь Игорь» Бородина), Князь («Русалка» Даргомыжского), Индийский гость («Садко» Римского-Корсакова), Андрей Хованский («Хованщина» Мусоргского) и другие партии.