Моника-Эвелин Лийв обучалась в Эстонской академии музыки и театра в классе известного оперного певца Мати Пальмы. В 2007-2009 годах была участницей Молодёжной программы Лондонской Королевской оперы. На сцене Ковент-Гарден певица дебютировала в партии Флоры в опере Верди «Травиата», выступив в ансамбле с Анной Нетребко, Йонасом Кауфманом и Дмитрием Хворостовским. В том же театре она принимала участие в постановках спектаклей «Кармен» Бизе, «Волшебная флейта» Моцарта, «Электра» Р. Штрауса, «Трубадур» Верди, «Медведь» Уолтона, «Лулу» Берга. Подготовила также партии Мари из «Летучего голландца» Вагнера, Маддалены из «Риголетто» Верди, Иокасты и Меропы из «Эдипа» Энеску.
Наиболее значительными в её карьере стали следующие роли: Амнерис в «Аиде» Верди, Полина в «Пиковой даме» и Ольга в «Егении Онегине» Чайковского, Корнелия в «Юлии Цезаре» и заглавная партия в «Ринальдо» Генделя, Сузуки в «Мадам Баттерфляй» Пуччини, Керубино в «Свадьбе Фигаро» и Секст в «Милосердии Тита» Моцарта, Алиса в «Лючии ди Ламмермур» Доницетти, служанка в «Женщине без тени» Р. Штрауса, которые она исполняла в Эстонской национальной опере, Израильской опере, Финнской национальной опере.
Концертные выступления певицы проходили во Франции, Канаде, Финляндии, Израиле, Литве, Шри Ланке, Коста-Рике и США, где она участвовала в исполнении Реквиемов Моцарта и Верди, 9-й симфонии Бетховена, кантаты «Александр Невский» Прокофьева в сотрудничестве с такими известными дирижёрами, как Антонио Паппано, Марк Элдер, Ян-Латам Кёниг, Эри Клас, Арво Волмер, Андрес Мустонен, Микко Франк и многоими другими.
Ближайшие ангажементы включают выступления на сценах Лондонской Королевской оперы в «Кольце Нибелунга» Вагнера, Эстонской национальной оперы в «Аиде» Верди (партия Амнерис), участие в исполнении 9-й симфонии Бетховена и Dies Illa Пендерецкого с Латвийским национальным оркестром, симфонии «Куллерво» Сибелиуса с Эстонским национальным симфоническим оркестром, Реквиема Дворжака в Израиле.
Моника-Эвелин Лийв — лауреат Эстонской премии в области искусства (2015), дважды награждалась Эстонской театральной премией (2013 и 2017) за исполнение партий Корнелии в опере «Юлий Цезарь» Генделя и Амнерис в «Аиде» Верди.