Николай Борчев родился в Пинске (Беларусь). Окончил Академическое музыкальное училище при Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского, вокальному мастерству обучался у Павла Лисициана и Марии Арии, затем продолжил образование в Высшей школе музыки имени Ханса Айслера в Берлине, где занимался под руководством Хайнца Ре, Юлии Варади и Вольфрама Ригера, а также посещал мастер-классы Дитриха Фишер-Дискау, Филипа Лангриджа и других.
В 2003 году Николай Борчев стал участником молодежного ансамбля Баварской государственной оперы в Мюнхене, в сезоне 2004/05 был принят в труппу театра. Выступает также на сценах других ведущих оперных театров Европы.
Исполнял партии Фигаро («Севильский цирюльник» Россини), Папагено («Волшебная флейта» Моцарта) и Мельхиора («Амал и ночные гости» Менотти) в Венской государственной опере, Гульельмо («Так поступают все женщины» Моцарта) и Арлекина («Ариадна на Наксосе» Р. Штрауса) – в лондонском Королевском оперном театре Ковент-Гарден, Энея («Дидона и Эней» Пёрселла) – в Королевском театре Мадрида, Онегина («Евгений Онегин» Чайковского) – в Штутгартской опере, Дандини («Золушка» Россини), Фрица и Пьеро («Мертвый город» Корнгольда), а также Морица в мировой премьере оперы Бенуа Мернье «Пробуждение весны» – в Королевском театре де ля Монне в Брюсселе, Дон Жуана («Дон Жуан» Моцарта) – в Страсбургской опере, Марселя («Богема» Пуччини) – в Лейпцигской опере, Улисса и Орфея («Возвращение Улисса на родину» и «Орфей» Монтеверди) – в Базельской опере. В общей сложности в репертуаре певца – более 40 оперных партий, охватывающих широкий стилевой диапазон, от сочинений эпохи барокко до опусов современных композиторов.
Николай Борчев выступает также с программами камерной вокальной лирики, исполняет вокальные циклы Шуберта, Шумана, Брамса, Малера, Воан-Уильямса. Концерты певца проходят в престижных залах мира, в числе которых Карнеги-холл и Линкольн-центр в Нью-Йорке, Дворец изящных искусств в Брюсселе, Консертгебау в Амстердаме, филармонические залы Берлина, Гамбурга и Парижа.
Совместная работа связывает Николая Борчева с выдающимися дирижерами, такими как Владимир Юровский, Кристиан Тилеман, Зубин Мета, Владимир Спиваков, Кент Нагано, Уильям Кристи, Рене Якобс,Себастьян Вайгле, Лоренцо Виотти, Энрике Маццола.
В 2023 году он участвовал среди прочего в исполнении опер «Калисто» Кавалли (Меркурий) в Баварской опере и «Теорема Пазолини» Баттистелли (Гость) в Немецкой опере в Берлине. Среди предстоящих ангажементов – выступления в операх «Солдаты» Циммермана (Штольциус) в Кёльне, Гамбурге и Париже, «Орфей» Монтеверди (Аполлон) в Париже, Берлине, Барселоне и Фрайбурге, «Золушка» Россини (Дандини) в Баварской опере и «Волшебная флейта» Моцарта (Папагено) на Первом оперном фестивале на Саарском полигоне в Энсдорфе (Германия).