Отар Джорджикия окончил Тбилисскую государственную консерваторию имени В. Сараджишвили (2013, класс профессора Н. Ангуладзе). В Оперной студии консерватории исполнял партии Тамино («Волшебная флейта»), Альфреда («Травиата»), Неморино («Любовный напиток»), Герцога («Риголетто») и Ленского («Евгений Онегин»). В 2011 году стал лауреатом конкурса Ладо Атанели в Тбилиси, после чего получил возможность посетить оперные мастер-классы в Швейцарии и Италии.
С 2013 года – солист Грузинского театра оперы и балета имени Палиашвили в Тбилиси, где дебютировал в партии Дона Альваро в «Силе судьбы» Верди. В 2016 году стал победителем VI Международного конкурса оперных артистов Галины Вишневской и дебютировал в Мариинском театре в партии Габриэля Адорно в опере «Симон Бокканегра» (дирижёр – Валерий Гергиев, в главной роли – Пласидо Доминго). На мариинской сцене исполняет также партию Форесто в «Аттиле».
В сезоне 2016/2017 певец прошёл подготовку в Международной оперной студии при Опере Цюриха, где исполнил партии Ричарда («Бал-маскарад») и Малькольма («Макбет»), а также партию тенора в Реквиеме Верди. В том же сезоне дебютировал в Большом театре России (Альфред в «Травиате»). Выступал в Польской национальной опере (Герцог в «Риголетто»), Литовском театре оперы и балета (Рудольф в «Богеме» и Альфред в «Травиате»), на фестивале Верди в Буссето.