Райнис Зариньш родился в 1985 году в Риге. Начав заниматься на фортепиано в 7 лет, он учился в музыкальных колледжах имени Я. Мединьша и Э. Дарзиньша, Латвийской академии музыки имени Я. Витолса, в Школе Йельского университета в США иКоролевской академии музыки в Лондоне. Будучи студентом, он не раз удостаивался различных наград, в том числе звания «Лучшего студента года»; выиграл главные призы на 11 международных конкурсах, включая Международный конкурс Б. Сметаны в Чехии, фортепианный конкурс Жака Самуэля в Великобритании, конкурс фортепианных дуэтов «Брат и сестра» в Санкт-Петербурге. Его наставниками были Борис Берман, Кристофер Элтон, Раффи Хараджанян и Рене Салакс. Большое влияние на формирование молодого музыканта оказали Клод Франк, Паскаль Девуайон, Пьер Булез, Петер Франкл, Ричард Гуди, Джесс Левин, а также музыканты Токийского струнного квартета и Вермеер-квартета.
Райнис регулярно выступает в Латвии со всеми ведущими оркестрами страны, в качестве солиста и камерного исполнителя. Его выступления транслируются по радио и телевидению, а в 2011 и 2012 гг. он получил премию национального радио классической музыки как лучший музыкант года. В 2012 году он был удостоен Great Music Award — высшей награды Латвии в области музыки.
Сегодня Райнис Зариньш — всемирно признанный артист. Он выступает по обоим берегам Атлантики. Его можно услышать в странах Балтики, Нидерландах, Великобритании, Германии, Финляндии, России, США; в таких залах, как амстердамский Консертгебау, Карнеги-холл и Стейнвей-холл в Нью-Йорке, Вигмор Холл и Стейнвей-холл в Лондоне, Зале им. Глазунова в Петербурге. Не так давно он посетил с концертами Южную Африку.
Пианист постоянно получает приглашения на фестивали в Люцерне, Бате (Англия), фестиваль камерной музыки в Йель-Норфолке, фестивали MasterWorks, «Кремерата Балтика» и Норвич&Норфолк в Великобритании, Международные музыкальные сессии в Голландии (TIHMS). Среди дирижеров, с которыми он сотрудничает, — Пабло Херас-Касадо, Петер Этвеш, Диего Масон, Дэвид Гир, Ариэль Цукерман, Андрис Пога, Атварс Лакстигала, Андрис Вейсманис. Совместные выступления с Пьером Булезом и его Ensemble Intercontemporain укрепили интерес молодого пианиста к современному репертуару.
В 2012 году Райнис записал два альбома на Champs Hill Records: один под названием Circus & Magic и другой — из произведений классика латышской музыки Язепа Витолса.
В 2013 году пианист исполнил концерты Бартока и Лютославского с Латвийским национальным симфоническим оркестром; выступил в дуэте со скрипачкой Кристиной Баланас в Лондоне, в Southbank Centre; сыграл рождественский сольный концерт в лондонском Вигмор-холле, а также концерты в Германии, Великобритании и Латвии.
В настоящее время Райнис Зариньш проживает в Лондоне с женой и тремя детьми.