Роман Шевчук родился в 1977 году во Владивостоке. Окончил Красноярский институт искусств по специальности «вокал» (2001). С 1997 года выступал в Красноярском театре оперы и балета, с 2001 года – солист Московского театра Новая Опера. В 2005—2006 годах стажировался в Тбилисской консерватории у профессора Н. Д. Андгуладзе.
С 2008 года работает в Камерном музыкальном театре имени Б. А. Покровского. Исполняет партии в спектаклях: «Турок в Италии» Россини, «Лунный мир» Гайдна, «Дон Жуан, или Наказанный развратник», «Так поступают все женщины», «Идоменей» и «Директор театра» Моцарта, «Пимпиноне» Телеманна, «Джанни Скикки» Пуччини, «Сорочинская ярмарка» Мусоргского, «Лиса-плутовка» Яначека, «Четыре самодура» Вольф-Феррари, «Нос» Шостаковича, «Холстомер» и «Каприччио в чёрном и белом» В. Кобекина, «Фрида и Диего» К. Ахо, «Альтист Данилов» А. Чайковского, «Ревизор» В. Дашкевича, Мелкий бес А. Журбина и «Ростовское действо» Д. Ростовского. В 2010 году номинировался на Национальную театральную премию «Золотая Маска» за роль Чарноты в опере «Бег».
Также в репертуаре певца партии Дона Базилио в «Севильском цирюльнике» Россини, Фигаро в «Свадьбе Фигаро» и Папагено в «Волшебной флейте» Моцарта.