Уроженец Астрахани, Рустам Яваев окончил Московский Государственный Педагогический Университет по классу оперного и камерного исполнительства (класс преподавателя М.А.Ганешиной и профессора Г.И.Урбановича) и аспирантуру (2005) по классу сольного пения Государственной классической Академии им. Маймонида (класс преподавателя профессора Г.И.Урбановича). В 2006 году певец прошел курс стажировки в Центре оперного пения Г.П.Вишневской.
Победитель Всероссийского студенческого конкурса в Екатеринбурге (1 премия, 2000), дипломант конкурса "Ве11а vосе" в Москве (2001), лауреат международного конкурса музыки XX века в Санкт-Петербурге (2 премия, 2002), лауреат Всероссийского конкурса в Костроме (1 премия, 2004),
лауреат Международного конкурса Ильхама Шакирова (Казань, 2005),
лауреат Международного конкурса "Янтарный соловей" в Калининграде (3 премия, 2006),
лауреат Международного конкурса в Италии (Пезаро) "Citta di Pesaro"
(2 премия, 2009).
Рустем Яваев сотрудничал с Коллегией старинной музыки при Московской консерватории, где с его участием были осуществлены исполнения опер и ораторий К.Монтеверди, И.А.Хассе, И.С.Баха, Г.Ф.Генделя, А.Скарлатти, К.В.Глюка, Дж.Перголези, Ф.Кавалли, Я.Пери, Д.Бортнянского.
Певец неоднократно участвовал в фестивале "Московская осень" в Московском Доме композиторов, исполняя музыку современных отечественных и зарубежных композиторов. В 2011 году Рустама Яваева приглашают солистом в Большой театр России на исполнение кантаты "Stabat mater" А.Вивальди в балетном спектакле "Отражение". Певец ведет активную концертную деятельность в России и за рубежом.
