Рустам Яваев родился в 1977 году в Астрахани. Окончил Астраханское музыкальное училище имени М. П. Мусоргского (1997), Московский государственный педагогический университет (2002) и аспирантуру Государственной классической академии имени Маймонида (2005). В 2004–2006 гг. проходил стажировку в Центре оперного пения Галины Вишневской, где исполнял партии Зибеля («Фауст» Гуно) и Ратмира («Руслан и Людмила» Глинки).
Победитель Всероссийского студенческого конкурса в Екатеринбурге (2000), дипломант конкурса Bella Voceв Москве (2001), лауреат международного конкурса музыки XX века в Санкт-Петербурге (II премия, 2002), Всероссийского конкурса в Костроме (I премия, 2004), международных конкурсов Ильхама Шакирова в Казани (2005), «Янтарный соловей» в Калининграде (IIIпремия, 2006), в Пезаро, Италия (IIпремия, 2009).
В 1997–2002 гг. сотрудничал с Коллегией старинной музыки при Московской консерватории, где с его участием были осуществлены исполнения опер и ораторий Монтеверди, Хассе, И. С. Баха, Генделя, А. Скарлатти, Глюка, Перголези, Кавалли, Пери, Бортнянского.
В 1998 году исполнил партию Амура в опере-балете «Пигмалион, или Сюрпризы Амура» Рамо в Большом театре (постановка Наталии Кайдановский в Белом фойе); в 2011 году принимал участие в проекте «Отражения» на музыку Вивальди (Stabatmater) на Новой сцене ГАБТа, с 2015 года исполнял на той же сцене соло альта (арию Генделя) в опере «Зори здесь тихие» Кирилла Молчанова (проект Госкапеллы России). С Госкапеллой под управлением Валерия Полянского также участвовал в исполнении кантаты «История доктора Иоганна Фауста» Шнитке (Мефистофиль) в Большом зале Московской консерватории и Саратовской филармонии (2014) и Второй симфонии Шнитке в БЗК (2019).
В 2010–2017 гг. – солист «Москонцерта». Гастролирует по России и за рубежом. Выступает в программах духовной музыки с Мужским хором Сретенского монастыря; регулярно участвует в исполнении произведений кантатно-ораториального жанра в Римско-католическом кафедральном соборе, Англиканской церкви Святого Андрея, Лютеранско-евангелическом соборе Святых Петра и Павла, музеях-усадьбах «Царицыно», «Останкино», Российском национальном музее музыки, Музее А. С. Пушкина.
Принимал участие в различных спектаклях и концертных программах, в числе которых «Тоска» Пуччини (Пастух) в Астраханском государственном театре оперы и балета (1996); «Орфей и Эвридика» Глюка (Орфей) в Московском музыкальном театре «Амадей» (2001); зингшпиль «Продавец вина и пива из Йены» Иоганна Николауса Баха (Петер) в Музее-усадьбе «Останкино» (2002); моноопера «Садовник и смерть» Сергея Жукова (Смерть) на фестивале «Московская осень» (2002); музыкально-драматический спектакль «Богини из машины» с музыкой Андреаса Мустукиса на фестивале «Территория» (2008); оратория «Торжествующая Юдифь» Вивальди (Озия) в Концертном зале имени П. И. Чайковского и «Гирлянда, или Волшебные цветы» Рамо (Миртила) в Камерном зале Московской филармонии (2011); «Адмет» Генделя (заглавная партия) во Дворце князей Трубецких (2013); опера «Черный квадрат» Ильи Демуцкого (Нерон/Калигула) в Государственной Третьяковской галерее (2018); спектакль «Орландо, Орландо» на музыку Генделя и Габриэля Прокофьева (главная партия) в театре «Геликон-опера» (2019–2020) и многие другие.