Алексей Степанов родился в Ленинграде в 1948 году. Учился в Ленинградской государственной консерватории имени Н.А. Римского-Корсакова и Московской консерватории имени П.И. Чайковского, где завершил обучение в 1975 году. В 1977 году окончил аспирантуру Московской консерватории. Его педагогами были такие известные профессора, как Е. Кудрявцева, И. Мусин, Л. Гинсбург и Э. Денисов.
В 1975 году, будучи еще студентом консерватории, Алексей Степанов дебютировал в Большом зале Ленинградской филармонии с Заслуженным коллективом республики Академическим симфоническим оркестром Ленинградской филармонии (х/р Евгений Мравинский). В течение ряда лет сотрудничал с Е. Светлановым, а также с А. Лазаревым, Г.Рождественским, Д. Китаенко, Ю. Темиркановым.
С 1977 по 2005 год Алексей Степанов — дирижер Большого театра, где в его репертуар вошли около сорока спектаклей: «Снегурочка», «Сказание о невидимом граде Китеже и деве Февронии», «Царская невеста», «Псковитянка», «Сказка о царе Салтане», «Золотой петушок» и «Моцарт и Сальери» Н.Римского-Корсакова, «Борис Годунов», «Хованщина» М.Мусоргского, «Князь Игорь» А.Бородина, «Евгений Онегин», «Пиковая дама», «Мазепа», «Орлеанская дева», «Иоланта» П.Чайковского, «Жизнь за Царя» («Иван Сусанин») М.Глинки, «Дуэнья», «Любовь к трем апельсинам», «Повесть о настоящем человеке» С.Прокофьева, «Мертвые души», «Чайка» (балет) Р.Щедрина, «Риголетто», «Дон Карлос», «Аида», «Бал-маскарад» Дж.Верди, «Богема», «Тоска» Дж.Пуччини, «Лючия ди Ламмермур» Г.Доницетти, «Свадьба Фигаро» В.А.Моцарта и другие.
Алексей Степанов выступает с ведущими симфоническими оркестрами с классическим и современным репертуаром. Гастролировал в Европе, США, Японии.
В рамках фестиваля «III Всемирная театральная олимпиада» в Москве, совместно с режиссером Тадаши Сузуки Алексей Степанов осуществил постановку оперы Тошио Хосакавы «Видение Лира» («Vision of Lear») по У.Шекспиру с участием звезд московских оперных театров, артистов Центра исполнительских искусств Шизуоки (Япония) и оркестра Большого театра (2001).
В 2001 году дирижировал мировой премьерой симфонии «Александр Великий» («Alexander The Great») Д. Араписа (Греция) с симфоническим оркестром Большого театра. Руководил гастролями оперной труппы Большого театра в Киеве и Риме, где дирижировал спектаклями «Борис Годунов» и «Золотой петушок» (2002). Совместно с режиссером Н.Лактионовым и художником В.Вольским осуществил постановки опер «Сельская честь» П. Масканьи и «Паяцы» Р. Леонкавалло в Уфимском театре оперы и балета (2004).
Алексей Степанов удостоен звания «Заслуженный артист России» (1994) и награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» (2001).