Татьяна Васильева родилась в Новосибирске. С шести лет начала учиться игре на виолончели, в 1989-1995 годы занималась в Центральной музыкальной школе при Московской консерватории (класс М. Журавлёвой). В годы учебы стала лауреатом юношеского конкурса им. П. И. Чайковского в Москве (1992), а вскоре и знаменитого конкурса ARD в Мюнхене (1994). Продолжила обучение в Мюнхенской Высшей школе музыки, а затем - в аспирантуре Берлинской Высшей школе музыки имени Г. Эйслера в классе профессора Давида Герингаса.
Международное признание к виолончелистке пришло после победы в 2001 году на VII Международном конкурсе виолончелистов Мстислава Ростроповича в Париже. Татьяна стала первой русской исполнительницей, получившей высшую награду — Гран-при — в истории конкурса. Она удостоилась французской премии «Виктуар де ля мюзик» в номинации «Зарубежный исполнитель — открытие года» и российской молодёжной премии «Триумф» (2005).
С этого времени Татьяна Васильева выступает со всемирно известными оркестрами и выдающимися дирижерами нашего времени, участвует в престижных международных фестивалях, а также ведет активную концертную деятельность как исполнитель камерной музыки. Она выступала с такими яркими звездами мировой музыки, как К. Аббадо, П. Бадура-Шкода, Ю. Башмет, М. Венгеров, Е. Кисин, Г. Кремер, Д. Мацуев, Ж.-Ф. Нойбургер, М. Ростропович, В. Спиваков, А. Тамести, Г. Капюсон, В. Третьяков и другими.
Татьяна играет на виолончели Антонио Страдивари 1725 года, щедро предоставленной ей французской компанией LVMH.
